Crecimiento y decaimiento exponencial
¡El crecimiento exponencial puede ser asombroso!
La idea: algo siempre crece en relación con su valor actual, como por ejemplo duplicarse constantemente.
Ejemplo: Si una población de conejos se duplica cada mes, ¡tendríamos 2, luego 4, luego 8, 16, 32, 64, 128, 256, y así sucesivamente!
Árbol asombroso
Digamos que tenemos este árbol especial.
Crece exponencialmente, siguiendo esta fórmula:
Altura (en mm) = ex
e es el número de Euler, aproximadamente 2.718
Ningún árbol podría crecer jamás tan alto.
Así que cuando la gente dice "crece exponencialmente" ... solo piensa en lo que eso significa.
Crecimiento y decaimiento
Pero a veces las cosas pueden crecer (o lo contrario: decaer) exponencialmente, al menos por un tiempo.
Por lo tanto, tenemos una fórmula generalmente útil:
y(t) = a × ekt
Donde y(t) = valor en el momento "t"
a = valor al inicio
k = tasa de crecimiento (cuando >0) o decaimiento (cuando <0)
t = tiempo
Ejemplo: Hace 2 meses tenías 3 ratones, ahora tienes 18.
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Asumiendo que el crecimiento continúe así
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Comienza con la fórmula:
y(t) = a × ekt
Sabemos que a=3 ratones, t=2 meses, y justo ahora y(2)=18 ratones:
18 = 3 × e2k
Ahora algo de álgebra para resolver k:
Notas:
- El paso donde usamos ln(ex)=x se explica en Exponentes y logaritmos
- Podríamos calcular k ≈ 0.896, pero es mejor mantenerlo como k = ln(6)/2 hasta que hagamos nuestros cálculos finales.
Ahora podemos poner k = ln(6)/2 en nuestra fórmula de antes:
y(t) = 3 e(ln(6)/2)t
Ahora calculemos la población en 2 meses más (en t=4 meses):
y(4) = 3 e(ln(6)/2)×4 = 108
Y dentro de 1 año a partir de ahora (t=14 meses):
y(14) = 3 e(ln(6)/2)×14 = 839,808
¡Son muchos ratones! Espero que los alimentes adecuadamente.
Decaimiento exponencial
Algunas cosas "decaen" (se reducen) exponencialmente.
Ejemplo: La presión atmosférica (la presión del aire a tu alrededor) disminuye a medida que subes más alto.
Disminuye alrededor del 12% por cada 1000 m: un decaimiento exponencial.
La presión al nivel del mar es de aproximadamente 1013 hPa (dependiendo del clima).
- Escribe la fórmula (con su valor de "k"),
- Encuentra la presión en el techo del edificio Empire State (381 m),
- y en la cima del Monte Everest (8848 m)
Comienza con la fórmula:
y(t) = a × ekt
Sabemos que
- a (la presión al nivel del mar) = 1013 hPa
- t está en metros (distancia, no tiempo, pero la fórmula aún funciona)
- y(1000) es una reducción del 12% sobre 1013 hPa = 891.44 hPa
Así que:
891.44 = 1013 ek×1000
Ahora algo de álgebra para resolver k:
Ahora que conocemos "k" podemos escribir:
y(t) = 1013 e(ln(0.88)/1000)×t
Y finalmente podemos calcular la presión a 381 m y a 8848 m:
y(381) = 1013 e(ln(0.88)/1000)×381 = 965 hPa
y(8848) = 1013 e(ln(0.88)/1000)×8848 = 327 hPa
De hecho, la presión en la cima del Monte Everest ronda los 337 hPa ... ¡buenos cálculos!
Vida media
La "vida media" es el tiempo que tarda un valor en reducirse a la mitad con un decaimiento exponencial.
Comúnmente se usa con la desintegración radiactiva, ¡pero tiene muchas otras aplicaciones!
Ejemplo: La vida media de la cafeína en tu cuerpo es de unas 6 horas. Si tomaste 1 taza de café hace 9 horas, ¿cuánto queda en tu organismo?
Comienza con la fórmula:
y(t) = a × ekt
Sabemos que:
- a (la dosis inicial) = ¡1 taza de café!
- t está en horas
- en y(6) tenemos una reducción del 50% (porque 6 es la vida media)
Así que:
0.5 = 1 taza × e6k
Ahora algo de álgebra para resolver k:
Ahora podemos escribir:
y(t) = 1 e(ln(0.5)/6)×t
En 6 horas:
y(6) = 1 e(ln(0.5)/6)×6 = 0.5
Lo cual es correcto ya que 6 horas es la vida media
Y en 9 horas:
y(9) = 1 e(ln(0.5)/6)×9 = 0.35
Después de 9 horas, la cantidad restante en tu organismo es aproximadamente 0.35 de la cantidad original. ¡Que duermas bien! :)
Juega con la Herramienta de la vida media de un medicamento para comprender bien esto.