Usando Exponentes y Logaritmos
¿Qué es un exponente?
El exponente de un número dice cuántas veces
usar el número en una multiplicación.
En este ejemplo: 23 = 2 × 2 × 2 = 8
(el 2 se usa 3 veces en una multiplicación para obtener 8)
¿Qué es un logaritmo?
Un Logaritmo va en sentido contrario.
Hace la pregunta "¿qué exponente produjo esto?":
Y la responde así:
En ese ejemplo:
- El exponente toma 2 y 3 y da 8 (2, usado 3 veces en una multiplicación, da 8)
- El logaritmo toma 2 y 8 y da 3 (el 2 da 8 cuando se usa 3 veces en una multiplicación)
Un logaritmo dice cuántos de un número multiplicar para obtener otro número
Por lo tanto, un logaritmo en realidad nos da el exponente como respuesta:
Trabajando juntos
Los exponentes y los logaritmos funcionan bien juntos porque se "deshacen" entre sí (siempre que la base "a" sea la misma):
Son "Funciones Inversas"
Hacer uno, luego el otro, nos regresa a donde comenzamos:
Es una pena que se escriban tan diferente ... hace que las cosas se vean extrañas. Por lo tanto, puede ayudar pensar en ax como "arriba" y en loga(x) como "abajo":
De todos modos, lo importante es que:
La función logarítmica es "deshecha" por la función exponencial.
(y viceversa)
Como en este ejemplo:
Ejemplo: ¿Cuánto vale x en log3(x) = 5?
Queremos "deshacer" el log3 para poder obtener "x ="
Y también:
Ejemplo: Calcula y en y = log4(14)
Propiedades de los logaritmos
Una de las cosas poderosas sobre los logaritmos es que pueden convertir la multiplicación en suma.
loga( m × n ) = logam + logan
"el logaritmo de una multiplicación es la suma de los logaritmos"
¿Por qué es eso cierto? Ver nota al pie.
Usando esa propiedad y las Leyes de los Exponentes obtenemos estas propiedades útiles:
Recuerda: ¡aquí la base "a" es siempre la misma!
Historia: los logaritmos eran muy útiles antes de que se inventaran las calculadoras ... por ejemplo, en lugar de multiplicar dos números grandes, usando logaritmos podemos convertirlo en una suma (¡mucho más fácil!)
Y había libros llenos de tablas de Logaritmos para ayudar.
Divirtámonos usando las propiedades:
Ejemplo: Simplifica loga( (x2+1)4√x )
Eso es todo lo que podemos simplificar ... no podemos hacer nada con loga(x2+1)
Respuesta: 4 loga(x2+1) + ½ loga(x)
Nota: no hay una regla para manejar loga(m+n) ni loga(m−n)
También podemos aplicar las reglas de logaritmo "al revés" para combinar logaritmos:
Ejemplo: Convierte esto en un logaritmo: loga(5) + loga(x) − loga(2)
Respuesta: loga(5x/2)
El logaritmo natural y las funciones exponenciales naturales
Cuando la base es el Número de Euler e = 2.718281828459... obtenemos:
- El logaritmo natural loge(x) que se escribe más comúnmente ln(x)
- La función exponencial natural ex
Y, sí, uno puede "deshacer" al otro:
ln(ex) = x
e(ln x) = x
Y aquí están sus gráficas:
Gráfica de f(x) = ln(x)
Pasa por (1,0) y (e,1)
Gráfica de f(x) = ex
Pasa por (0,1) y (1,e)
Son la misma curva con el eje x y el eje y invertidos.
Lo cual también nos muestra que son funciones inversas.
En una calculadora, el logaritmo natural es el botón "ln".
Siempre trata de usar logaritmos naturales y la función exponencial natural siempre que sea posible.
El logaritmo común
Cuando la base es 10 obtenemos:
- El logaritmo común log10(x), que a veces se escribe como log(x)
En una calculadora, el logaritmo común es el botón "log".
A los ingenieros les encanta usarlo, pero no se usa mucho en matemáticas.
El logaritmo común es práctico porque nos dice qué tan "grande" es el número en decimal (cuántas veces necesitamos usar 10 en una multiplicación).
Ejemplo: Calcula log10 100
Bueno, 10 × 10 = 100, así que cuando el 10 se usa 2 veces en una multiplicación obtenemos 100:
log10 100 = 2
Del mismo modo, log10 1,000 = 3, log10 10,000 = 4, y así sucesivamente.
Ejemplo: Calcula log10 369
OK, lo mejor es usar el botón "log" de la calculadora:
log10 369 = 2.567...
Cambio de base
¿Qué pasa si queremos cambiar la base de un logaritmo?
Podemos usar esta fórmula:
"x va arriba, a va abajo"
1logb a funciona como un "factor de conversión" de una base a cualquier otra base.
Otra propiedad útil es:
loga x = 1 / logx a
¿Ves cómo "x" y "a" intercambian posiciones?
Ejemplo: Calcula 1 / log8 2
1 / log8 2 = log2 8
Y 2 × 2 × 2 = 8, así que cuando el 2 se usa 3 veces en una multiplicación obtenemos 8:
1 / log8 2 = log2 8 = 3
Y el logaritmo natural nos da esta versión simple de cambio de base:
loga x = ln xln a
Ejemplo: Calcula log4 22
|
Mi calculadora no tiene un botón "log4" ... ... pero sí tiene un botón "ln", así que podemos usarlo: |
¿Qué significa esta respuesta? Significa que 4 con un exponente de 2.23 es igual a 22. Así que podemos comprobar esa respuesta:
Comprobación: 42.23 = 22.01 (¡suficientemente cerca!)
Aquí hay otro ejemplo:
Ejemplo: Calcula log5 125
Podemos usar la función "ln" en la calculadora:
¿Es exactamente 3? No deberíamos confiar en una calculadora, ya que podría haber errores de redondeo, pero en este caso podemos comprobar que 53 = 5 × 5 × 5 = 125 exactamente, así que:
Respuesta: 3
Uso en el mundo real
Aquí hay algunos usos de los logaritmos en el mundo real:
Terremotos
La magnitud de un terremoto es una escala logarítmica.
La famosa "escala de Richter" utiliza esta fórmula:
M = log10 A + B
Donde A es la amplitud (en mm) medida por el sismógrafo
y B es un factor de corrección de distancia
Hoy en día hay fórmulas más complicadas, pero todavía usan una escala logarítmica.
Sonido
El volumen del sonido se mide en decibelios (dB para abreviar):
Volumen en dB = 10 log10 (p × 1012)
donde p es la presión del sonido.
Ácido o alcalino
La acidez (o alcalinidad) se mide en pH:
pH = −log10 [H+]
donde H+ es la concentración molar de iones de hidrógeno disueltos.
Nota: en química [ ] significa concentración molar (moles por litro).
Más ejemplos
Ejemplo: Resuelve 2 log8 x = log8 16
Pero ... pero ... pero ... ¡no podemos calcular el logaritmo de un número negativo!
Por lo tanto, el caso −4 no está definido.
Respuesta: 4
Comprobación: usa una calculadora para ver si esta es la respuesta correcta ... también prueba el caso "−4".
Ejemplo: Resuelve e−w = e2w+6
Respuesta: w = −2
Comprobación: e-(−2) = e2 y e2(−2)+6 = e2
Nota al pie: ¿Por qué log(m × n) = log(m) + log(n) ?
Para ver por qué, usaremos aloga(x) = x y loga(ax) = x de esta forma:
Es una de esas cosas ingeniosas que hacemos en matemáticas que se pueden describir como: "no podemos hacerlo aquí, así que vayamos allá, hagámoslo y luego regresemos".