Introducción a los Logaritmos

En su forma más simple, un logaritmo responde a la pregunta:

¿Cuántos de un número multiplicamos para obtener otro número?

Ejemplo: ¿Cuántos 2s se necesitan multiplicar para tener 8?

Respuesta: 2 × 2 × 2 = 8, así que necesitábamos multiplicar 3 veces el 2 para obtener 8

Entonces el logaritmo es 3

Cómo escribirlo

Escribimos "el número de 2's que necesitamos multiplicar para obtener 8 es 3" de la siguiente forma:

log2(8) = 3

 

Entonces estas dos cosas son iguales:

concepto de logaritmo 2x2x2=8 same as log_2(8)=3

El número que multiplicamos se llama "base", por lo que podemos decir:

Ten en cuenta que estamos tratando con tres números:

Más ejemplos

Ejemplo: ¿Cuál es el log5(625) ... ?

Nos preguntamos "¿cuántos 5s deben multiplicarse para obtener 625?"

5 × 5 × 5 × 5 = 625, así que necesitamos 4 de esos 5s

Respuesta: log5(625) = 4

Ejemplo: ¿Cuál es el log2(64) ... ?

Nos preguntamos "¿cuántos 2s deben multiplicarse para obtener 64?"

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64, así que necesitamos 6 de esos 2s

Respuesta: log2(64) = 6

Exponentes

Los exponentes y los logaritmos están relacionados, veamos cómo ...

2 al cubo

El exponente indica cuántas veces hay que usar un número en una multiplicación.

En este ejemplo: 23 = 2 × 2 × 2 = 8

(el 2 se usa 3 veces en una multiplicación para obtener 8)

Entonces un logaritmo responde una pregunta como ésta:

¿2 elevado a qué exponente = 8?

De este modo:

2^3=8 se convierte en log_2(8)=3

¡El logaritmo nos dice cuál es el exponente!

En ese ejemplo, la "base" es 2 y el "exponente" es 3:

2^3=8 se convierte en log_2(8)=3

Entonces el logaritmo responde a la pregunta:

¿Qué exponente necesitamos
(para que un número se convierta en otro número)
?

El caso general es:

a^x=y se convierte en log_a(y)=x

Ejemplo: ¿Cuál es el log10(100) ... ?

102 = 100

Se necesita un exponente 2 para convertir 10 en 100, y:

log10(100) = 2

Ejemplo: ¿Cuál es el log3(81) ... ?

34 = 81

Se necesita un exponente 4 para convertir 3 en 81, y:

log3(81) = 4

 

Logaritmo común: Base 10

A veces un logaritmo se escribe sin una base, como éste:

log(100)

Esto generalmente significa que la base es realmente 10.

log

Se llama un "logaritmo común". A los ingenieros les encanta usarlo.

En una calculadora es el botón "log".

Es cuántas veces necesitamos usar 10 en una multiplicación, para obtener nuestro número deseado.

Ejemplo: log(1000) = log10(1000) = 3

 

Logaritmo natural: Base "e"

Otra base que se usa con frecuencia es e (Número de Euler) que es aproximadamente 2.71828.

botón ln en la calculadora

Éste se llama "logaritmo natural". Los matemáticos lo usan mucho.

En una calculadora es el botón "ln".

Es la cantidad de veces que necesitamos usar "e" en una multiplicación, para obtener nuestro número deseado.

Ejemplo: ln(7.389) = loge(7.389) ≈ 2

Porque 2.718282 ≈ 7.389


¡Pero a veces hay confusión ...!

Los matemáticos usan "log" (en lugar de "ln") para referirse al logaritmo natural. Esto puede llevar a confusión:

Ejemplo Lo que piensa
un ingeniero
Lo que piensa
un matemático
 
log(50) log10(50) loge(50) hay confusión
ln(50) loge(50) loge(50) sin confusión
log10(50) log10(50) log10(50) sin confusión

Por lo tanto, ten cuidado que cuando leas "log" puedas saber a qué base se refieren.

 

Los logaritmos pueden tener decimales

Todos nuestros ejemplos han usado logaritmos de números enteros (como 2 ó 3), pero los logaritmos pueden tener valores decimales como 2.5, ó 6.081, etc.

Ejemplo: ¿Cuál es el log10(26) ... ?

botón log

Ten a la mano tu calculadora, teclea 26 y luego presiona log

La respuesta es: 1.41497...

El logaritmo está indicando que 101.41497... = 26
(10 con un exponente de 1.41497... es igual a 26)

Así es como se ve en una gráfica:

Mira qué bonita y suave es la línea.
  log 10 de 26

Lee Los Logaritmos Pueden Tener Decimales para descubrir más.

Logaritmos negativos

¿Negativo? Pero los logaritmos trabajan con la multiplicación...
¿Qué es lo contrario de multiplicar? ¡Dividir!

Un logaritmo negativo significa cuántas veces dividir por el número.

Nosotros podemos tener una sola división:

Ejemplo: ¿Cuál es el log8(0.125) ... ?

Bueno, 1 ÷ 8 = 0.125,

Así que log8(0.125) = −1

O muchas divisiones:

Ejemplo: ¿Cuál es el log5(0.008) ... ?

1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 5−3,

Así que log5(0.008) = −3

Todo tiene sentido

Multiplicar y dividir son parte del mismo patrón simple.

Veamos algunos logaritmos de base 10 como ejemplo:
  Número Cuántos 10s Logaritmo Base-10
10 veces más grande / chico .. etc..      
1000 1 × 10 × 10 × 10 log10(1000) = 3
100 1 × 10 × 10 log10(100) = 2
10 1 × 10 log10(10) = 1
1 1 log10(1) = 0
0.1 1 ÷ 10 log10(0.1) = −1
0.01 1 ÷ 10 ÷ 10 log10(0.01) = −2
0.001 1 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 log10(0.001) = −3
.. etc..      

Mirando esa tabla, mira cómo los logaritmos positivos, cero o negativos son realmente parte del mismo patrón (bastante simple).

 

El origen de la palabra

"Logaritmo" es una palabra compuesta por el matemático escocés John Napier (1550-1617), de la palabra griega logos que significa "proporción, razón o palabra" y arithmos que significa "número", ... ¡que juntas hacen "proporción-número"!

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).

Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 8 Question 9 Question 10