Introducción a los Logaritmos
En su forma más simple, un logaritmo responde a la pregunta:
¿Cuántos de un número multiplicamos para obtener otro número?
Ejemplo: ¿Cuántos 2s se necesitan multiplicar para tener 8?
Respuesta: 2 × 2 × 2 = 8, así que necesitaremos multiplicar 3 veces el 2 para obtener 8
Entonces el logaritmo es 3
Cómo escribirlo
Escribimos "el número de 2's que necesitamos multiplicar para obtener 8 es 3" de la siguiente forma:
log2(8) = 3
Entonces estas dos cosas son iguales:
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El número que multiplicamos se llama "base", por lo que podemos decir:
- "el logaritmo de 8 con base 2 es 3"
- o "el logaritmo base 2 de 8 es 3"
Ten en cuenta que estamos tratando con tres números:
- la base: el número que estamos multiplicando (como el "2" en el ejemplo anterior)
- con qué frecuencia usarlo en una multiplicación (3 veces, que es el logaritmo)
- el número que queremos obtener (un "8")
Más ejemplos
Ejemplo: ¿Cuál es el log5(625) ... ?
Nos preguntamos "¿cuántos 5s deben multiplicarse para obtener 625?"
5 × 5 × 5 × 5 = 625, así que necesitamos 4 de esos 5s
Respuesta: log5(625) = 4
Ejemplo: ¿Cuál es el log2(64) ... ?
Nos preguntamos "¿cuántos 2s deben multiplicarse para obtener 64?"
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64, así que necesitamos 6 de esos 2s
Respuesta: log2(64) = 6
Exponentes
Los exponentes y los logaritmos están relacionados, veamos cómo ...
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El exponente indica cuántas veces hay que usar un número en una multiplicación. En este ejemplo: 23 = 2 × 2 × 2 = 8 (el 2 se usa 3 veces en una multiplicación para obtener 8) |
De modo que un exponente responde a esta pregunta:
Y un logaritmo responde una pregunta como esta:
De este modo:
¡El logaritmo nos dice cuál es el exponente!
En ese ejemplo, la base es 2 y el exponente es 3:
Entonces el logaritmo responde a la pregunta:
¿Qué exponente necesitamos
(para que un número se convierta en otro número)?
El caso general es:
Ejemplo: ¿Cuál es el log10(100) ... ?
102 = 100
Se necesita un exponente 2 para convertir 10 en 100, y:
log10(100) = 2
Ejemplo: ¿Cuál es el log3(81) ... ?
34 = 81
Se necesita un exponente 4 para convertir 3 en 81, y:
log3(81) = 4
Logaritmo común: Base 10
A veces un logaritmo se escribe sin base, así:
log(100)
Esto usualmente significa que la base es realmente 10.
Se le llama "logaritmo común". A los ingenieros les encanta usarlo.
En una calculadora, es el botón "log".
Es cuántas veces necesitamos usar el 10 en una multiplicación para obtener el número deseado.
Ejemplo: log(1000) = log10(1000) = 3
Logaritmos naturales: Base "e"
Otra base que se usa a menudo es e (Número de Euler), que es aproximadamente 2.71828...
Este se llama "logaritmo natural". Los matemáticos usan mucho este tipo.
En una calculadora, es el botón "ln".
Es cuántas veces necesitamos usar e en una multiplicación para obtener el número deseado.
Ejemplo: ln(7.389) = loge(7.389) ≈ 2
Porque 2.718282 ≈ 7.389
¡Pero a veces hay confusión...!
Los matemáticos pueden usar "log" (en lugar de "ln") para referirse al logaritmo natural. Esto puede llevar a confusiones:
| Ejemplo | Un ingeniero piensa |
Un matemático piensa |
|
|---|---|---|---|
| log(50) | log10(50) | loge(50) | confusión |
| ln(50) | loge(50) | loge(50) | sin confusión |
| log10(50) | log10(50) | log10(50) | sin confusión |
Por lo tanto, ¡ten cuidado cuando leas "log" y asegúrate de saber a qué base se refieren!
Los logaritmos pueden tener decimales
Todos nuestros ejemplos han usado logaritmos con números enteros (como 2 o 3), pero los logaritmos pueden tener valores decimales como 2.5, o 6.081, y así sucesivamente.
Ejemplo: ¿cuánto es log10(26)...?
Toma tu calculadora, escribe 26 y presiona log
La respuesta es: 1.41497...
El logaritmo está diciendo que 101.41497...
= 26
(10 con un exponente de 1.41497... es igual a 26)
Así es como se ve en una gráfica:
Mira qué suave y fluida es la línea.
Lee Los Logaritmos Pueden Tener Decimales para descubrir más.
Logaritmos negativos
¿Negativos? Pero los logaritmos tratan sobre multiplicar.
¿Qué es lo opuesto a multiplicar?
¡Dividir!
Un logaritmo negativo indica cuántas veces hay que dividir por el número.
Ejemplo: ¿Cuánto es log8(0.125)...?
Bueno, 1 ÷ 8 = 0.125,
Así que log8(0.125) = −1
Podemos necesitar muchas divisiones:
Ejemplo: ¿Cuánto es log5(0.008)...?
1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 5-3,
Entonces log5(0.008) = −3
Todo tiene sentido
Multiplicar y dividir son parte del mismo patrón sencillo.
Veamos algunos logaritmos de Base 10 como ejemplo:
| Número | Cuántos dieces | Logaritmo Base-10 | ||
|---|---|---|---|---|
 |
.. y así sucesivamente.. | |||
| 1000 | 1 × 10 × 10 × 10 | log10(1000) | = 3 | |
| 100 | 1 × 10 × 10 | log10(100) | = 2 | |
| 10 | 1 × 10 | log10(10) | = 1 | |
| 1 | 1 | log10(1) | = 0 | |
| 0.1 | 1 ÷ 10 | log10(0.1) | = −1 | |
| 0.01 | 1 ÷ 10 ÷ 10 | log10(0.01) | = −2 | |
| 0.001 | 1 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 | log10(0.001) | = −3 | |
| .. y así sucesivamente.. | ||||
Al observar esa tabla, nota cómo los logaritmos positivos, cero o negativos son realmente parte del mismo patrón (bastante simple).
La palabra
"Logaritmo" es una palabra inventada por el matemático escocés John Napier (1550-1617), proveniente del latín medieval "logarithmus", que significa "número de proporción" o "número de razón".
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
