Los logaritmos pueden tener decimales
En Introducción a los logaritmos vimos que un logaritmo responde preguntas como esta:
¿Cuántos 2 multiplicamos para obtener 8?
Respuesta: 2 × 2 × 2 = 8, así que necesitamos multiplicar 3 de los 2 para obtener 8
Por lo tanto, el logaritmo es 3
Y escribimos "la cantidad de 2 que multiplicamos para obtener 8 es 3" como
log2(8) = 3
Así que estas dos cosas son iguales:
Ejemplo: ¿Cuánto es log10(100) ... ?
10 × 10 = 100
Multiplicar 2 dieces nos da 100, así que:
log10(100) = 2
Y usando exponentes podemos escribir 102 = 100
Pero ahora hacemos una nueva pregunta:
Ejemplo: ¿Cuánto es log10(300) ... ?
10 × 10 = 100
10 × 10 × 10 = 1000
¡Oh no! Estamos demasiado abajo o demasiado arriba.
Así que multiplicar dos 10 no es suficiente, pero multiplicar tres 10 es demasiado...
... pero ¿qué tal dos y medio...?
Media multiplicación...
¿Cómo podemos hacer media multiplicación?
Media multiplicación es algo que hacemos dos veces para obtener una multiplicación completa.
¡Y esa es la raíz cuadrada!
√10 × √10 = 10
Media multiplicación no significa multiplicar por 0.5 ni dividir entre 2.
Significa encontrar un número que, al multiplicarse por sí mismo, nos dé el número que buscamos (como 10). Y eso es exactamente lo que hace una raíz cuadrada.
Así que intentemos eso:
Ejemplo: log10(300) (continuación)
Intenta usar 10 en una multiplicación dos veces y media:
10 × 10 × √10
= 10 × 10 × 3.16...
= 316....
Estamos cerca de 300, por lo que podríamos decir:
log10(300) ≈ 2.5 (¡aproximadamente!)
En otras palabras, usar 10 en una multiplicación dos veces y media da aproximadamente 300.
Usando exponentes podemos escribir 300 ≈ 102.5
Y así es como se ve en una gráfica:
2: 10 × 10 = 100
2.5: 10 × 10 × √10 = 316....
3: 10 × 10 × 10 = 1000
Así que los logaritmos no son solo números enteros como 2 o 3: encontramos un valor en 2.5.
Podemos encontrar más valores (usando raíces cúbicas, raíces cuartas, y así sucesivamente.) como 2.75 o 1.9055, y así sucesivamente.
Pero no tenemos que usar raíces cuadradas y demás para encontrar logaritmos, porque...
... ¡en la práctica es más fácil usar una calculadora!
Simplemente usa una calculadora
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Por ejemplo, el botón "log" dará el logaritmo en "base 10". |
Ejemplo: usando la calculadora, ¿cuánto es log10(300)?
Toma tu calculadora, escribe 300, luego presiona log
Respuesta: 2.477...
Eso significa que necesitamos usar 10 en una multiplicación 2.477... veces para obtener 300:
log10(300) = 2.477...
Nuestra estimación anterior de 2.5 no estuvo tan mal, ¿verdad?
Y usando exponentes podemos escribir 102.477... = 300
Ejemplo: ¿Cuánto es log10(640)?
Toma tu calculadora, escribe 640, luego presiona log
Respuesta: 2.806...
Eso significa que necesitamos usar 10 en una multiplicación 2.806... veces para obtener 640:
log10(640) = 2.806...
Echa un vistazo a la gráfica de arriba y mira qué valor obtienes en x=640
Y usando exponentes podemos escribir 102.806... = 640
Así que ahí lo tienes: los logaritmos (que nos dicen cuántas veces usar un número en una multiplicación) pueden tener valores decimales.
Además: un logaritmo da un exponente, y un exponente se puede expresar como un logaritmo: