Leyes de los exponentes
Los exponentes también se llaman potencias o índices
El exponente de un número dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación.
En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64
Pruébalo tú mismo:
¡Así que un exponente nos ahorra escribir muchas multiplicaciones!
Ejemplo: a7
a7 = a × a × a × a × a × a × a = aaaaaaa
¿Te diste cuenta de cómo escribimos las letras juntas para indicar multiplicación? Haremos mucho eso aquí.
Ejemplo: x6 = xxxxxx
La clave de las leyes
Escribir todas las letras es la clave para entender las leyes
Ejemplo: x2x3 = (xx)(xxx) = xxxxx = x5
Lo que demuestra que x2x3 = x5, ¡pero ya hablaremos más de eso después!
Así que, cuando tengas dudas, solo recuerda escribir todas las letras (tantas como indique el exponente) y mira a ver si tiene sentido.
Todo lo que necesitas saber...
Las "Leyes de los exponentes" (también llamadas "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas:
 |
El exponente dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación. | ||
 |
Un exponente negativo significa dividir, porque lo contrario de multiplicar es dividir | ||
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¡Si entiendes eso, entonces entiendes los exponentes!
Y todas las leyes siguientes se basan en esas ideas.
Leyes de los exponentes
Aquí están las leyes (a continuación se explican):
| Ley | Ejemplo |
|---|---|
| x1 = x | 61 = 6 |
| x0 = 1 | 70 = 1 |
| x-1 = 1/x | 4-1 = 1/4 |
| xmxn = xm+n | x2x3 = x2+3 = x5 |
| xm/xn = xm-n | x6/x2 = x6-2 = x4 |
| (xm)n = xmn | (x2)3 = x2×3 = x6 |
| (xy)n = xnyn | (xy)3 = x3y3 |
| (x/y)n = xn/yn | (x/y)2 = x2 / y2 |
| x-n = 1/xn | x-3 = 1/x3 |
| Y la ley sobre los exponentes fraccionarios: | |
| xm/n = n√xm = (n√x )m |
x2/3 = 3√x2 = (3√x )2 |
• Para xm / xn, necesitamos que x ≠ 0, porque la división entre cero no está permitida.
• Para xm/n, si n es par, entonces x ≥ 0, para evitar raíces complejas.
Explicación de las leyes
Las tres primeras leyes de arriba (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son solo parte de la sucesión natural de los exponentes. Mira esto:
| Ejemplo: Potencias de 5 | |||
|---|---|---|---|
| .. y así sucesivamente.. |  |
||
| 52 | 1 × 5 × 5 | 25 | |
| 51 | 1 × 5 | 5 | |
| 50 | 1 | 1 | |
| 5-1 | 1 ÷ 5 | 0.2 | |
| 5-2 | 1 ÷ 5 ÷ 5 | 0.04 | |
| .. y así sucesivamente.. | |||
Observa esa tabla por un momento... nota que los exponentes positivos, cero o negativos son en realidad parte del mismo patrón, es decir, 5 veces más grande (o 5 veces más pequeño) dependiendo de si el exponente aumenta (o disminuye).
La ley que dice que xmxn = xm+n
Con xmxn, ¿cuántas veces terminamos multiplicando "x"? Respuesta: primero "m" veces, luego por otras "n" veces, para un total de "m+n" veces.
Ejemplo: x2x3 = (xx)(xxx) = xxxxx = x5
Así que, x2x3 = x(2+3) = x5
La ley que dice que xm/xn = xm-n
Al igual que en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces terminamos multiplicando "x"? Respuesta: m veces, luego cancelamos n de esas multiplicaciones (porque estamos dividiendo), dejando un total de m−n veces.
Ejemplo: 24/22 = (2×2×2×2) / (2×2) = 2×2 = 4
Ejemplo: x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2
Así que, x4/x2 = x(4-2) = x2
(Recuerda que x/x = 1, por lo que cada vez que veas una x "arriba de la línea" y otra "debajo de la línea", puedes cancelarlas).
Esta ley también te puede mostrar por qué x0=1 :
Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1
La ley que dice que (xm)n = xmn
Primero multiplicas "m" veces. Luego tienes que hacer eso "n" veces, para un total de m×n veces.
Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12
Así que (x3)4 = x3×4 = x12
La ley que dice que (xy)n = xnyn
Para mostrar cómo funciona esta, solo piensa en reordenar todas las "x" e "y" como en este ejemplo:
Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3
La ley que dice que (x/y)n = xn/yn
De manera similar al ejemplo anterior, solo reordena las "x" e "y"
Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3
La ley que dice que xm/n = n√xm = (n√x )m
¡De acuerdo, esta es un poco más complicada!
Te sugiero que primero leas Exponentes fraccionarios, para que esto tenga más sentido.
De todos modos, la idea importante es que:
x1/n = La raíz n-ésima de x
Y por lo tanto, un exponente fraccionario como 43/2 realmente significa hacer un cubo (3) y una raíz cuadrada (1/2), en cualquier orden, así:
Ejemplo: 43/2
Solo recuerda por las fracciones que m/n = m × (1/n):
Ejemplo: x(mn) = x(m × 1n) = (xm)1/n = n√xm
El orden no importa, así que también funciona para m/n = (1/n) × m:
Ejemplo: x(mn) = x(1n × m) = (x1/n)m = (n√x )m
Exponentes de exponentes...
¿Qué pasa con este ejemplo?
432
Hacemos el exponente de arriba primero, así que lo calculamos de esta manera:
| Empezamos con: | 432 | |
| 32 = 3×3: | 49 | |
| 49 = 4×4×4×4×4×4×4×4×4: | 262144 |
¡Y eso es todo!
Si te resulta difícil recordar todas estas reglas, entonces recuerda esto:
puedes deducirlas si entiendes las
tres ideas cerca del inicio de esta página:
- El exponente dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación
- Un exponente negativo significa dividir
- Un exponente fraccionario como 1/n significa tomar la raíz n-ésima: x(1n) = n√x
Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x = 0?
| Exponente positivo (n>0) | 0n = 0 | |
| Exponente negativo (n<0) | 0-n está indefinido (porque dividir entre 0 está indefinido) | |
| Exponente = 0 | 00 ... ummm ... ¡mira abajo! |
El extraño caso de 00
Hay diferentes argumentos para el valor correcto de 00
00 podría ser 1, o posiblemente 0, así que algunas personas dicen que en realidad es "indeterminado":
 |
x0 = 1, así que ... | 00 = 1 |
| 0n = 0, así que ... | 00 = 0 | |
| En caso de duda ... | 00 = "indeterminado" |