Raíces n-ésimas

La "raíz n-ésima" de un valor dado, cuando se multiplica n veces da el valor inicial

" n-ésima "

, , , 10ª (décima), 20ª (vigésima), ... n-ésima ...

En vez de hablar de la "4ª (cuarta)", "16ª (decimosexta)", etc. , si queremos hablar en general decimos la "n-ésima".

La raíz n-ésima


2   raíz cuadrada de a   Así como la raíz cuadrada es lo que se multiplica dos veces para tener el valor original...
3   raíz cúbica de a   ... y la raíz cúbica es lo que se multiplica tres veces para tener el valor original...
...   ...  
...
n   raíz n-ésima de a   ... la raíz n-ésima es lo que se multiplica n veces para tener el valor original


Así que es la manera general de hablar de raíces
(podría ser la segunda, novena, 324ª o cualquier otra)

El símbolo de la raíz n-ésima

símbolo de la raíz n-ésima

Este es el símbolo especial que significa "raíz n-ésima", es el símbolo "radical" (el de las raíces cuadradas) con una n pequeña para indicar la raíz n-ésima.

Uso

Se podría usar la raíz n-ésima en una pregunta así:

Pregunta: ¿Cuánto vale "n" en esta ecuación?

raíz n-ésima de 625 es 5

Respuesta: Simplemente sé que 625 = 54, por lo que la 4ta raíz de 625 debe ser 5:

raíz 4ta de 625 es 5

O podríamos usar "n" porque queremos hablar de algo en general:

Ejemplo: Si n es impar entonces raíz n-ésima de a^n   (hablaremos de esto más adelante).

¿Por qué "raíz"... ?

raíz de árbol

Cuando cuando veas "raíz" piensa

"conozco el árbol, pero ¿cuál es la raíz que lo produce?"

En el caso de √9 = 3 el árbol es "9", y la raíz es 3.

Propiedades

Ahora que sabemos lo que es una raíz n-ésima, veamos algunas propiedades:

Multiplicación y división

Puedes "separar" así multiplicaciones dentro de la raíz:

raíz n-ésima ab
(Si n es par y suponemos que a y b son ≥ 0)

Esto te ayudará a simplificar ecuaciones en álgebra, y también algunos cálculos:

Ejemplo: raíz cúbica de 128

También funciona con la división:

raíz n-ésima a entre b
(a≥0 y b>0)
(b no puede ser cero porque no se puede dividir entre cero)

Ejemplo:

raíz cúbica 1 entre 64


Suma y restas

¡Pero no se puede hacer lo mismo con sumas y restas!

¡no! no se puede distribuir sumas o restas dentro de la raíz n-ésima ¡no!

Ejemplo: Teorema de Pitágoras dice:

triángulo rectángulo   a2 + b2 = c2

Entonces podemos calcular c así:

c = √(a2 + b2)

Que no es lo mismo que c = a + b, ¿verdad?

Es fácil caer en la trampa, así que ten cuidado. También quiere decir que desgraciadamente las sumas y restas son más difíciles cuando están dentro de una raíz.

 

Exponentes y raíces

Un exponente a un lado del "=" se convierte en una raíz cuando se pasa al otro lado del "=":

flecha Si   a a la n es igual a b   entonces   a=raíz n-ésima de b   (b ≥ 0)  

Ejemplo: 5 elevado a la 4ta potencia

Raíz n-ésima de una potencia n-ésima

Cuando un valor tiene un exponente n y calculas su raíz n-ésima, recuperas el valor del principio:

... cuando a es positivo (o cero):

flecha   raíz n-ésima de a^n   (cuando a ≥ 0)

Ejemplo: ejemplos de raíces

... o cuando el exponente es impar:

flecha   raíz n-ésima de a^n   (cuando n es impar)

Ejemplo:ejemplos de raíces

... pero cuando a es negativo y el exponente es par tenemos esto:

raíz cuadrada de un cuadrado

¿Viste que −3 se convirtió en +3?

... por lo que tenemos: flecha   raíz n-ésima de a^n = abs(a)   (cuando a < 0 y n es par)

(Nota: |a| representa el valor absoluto de a, en otras palabras, cualquier negativo se convierte en positivo)

Ejemplo:ejemplo de raíz 4ta

¡Así que eso es algo de lo que hay que tener cuidado! Lee más en Exponentes de números negativos.

Aquí está todo en una tabla:

  n es impar n es par
a ≥ 0 nth root a^n nth root a^n
a < 0 nth root a^n nth root a^n = abs(a)

 

 

Raíz n-ésima de una potencia m-ésima

Ahora vemos qué pasa cuando el exponente y la raíz tienen valores diferentes (m y n).

flecha Raíz n-ésima de una potencia m-ésima

Ejemplo:raíz cúbica de 27 al cuadrado

Así que... puedes poner el exponente "dentro" de la raíz n-ésima, cosa que a veces es útil.

Pero hay otro método todavía más poderoso... puedes combinar el exponente y la raíz para hacer un nuevo exponente, así:

flecha Raíz n-ésima de una potencia m-ésima Ejemplo:raíz cúbica de 4 a la sexta

Es porque la raíz n-ésima es lo mismo que el exponente (1/n):

flecha Raíz n-ésima de una potencia m-ésima Ejemplo: 2½ = √2 (la raíz cuadrada de 2)

¡Quizás quieras leer ahora sobre exponentes fraccionarios para entender por qué!


¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).