Exponentes fraccionarios
También se llaman "Radicales" o "Exponentes racionales"
Exponentes enteros
Primero, veamos los exponentes con números enteros:
El exponente de un número dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación.
En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64
Otro ejemplo: 53 = 5 × 5 × 5 = 125
Exponentes fraccionarios
¿Pero qué ocurre si el exponente es una fracción?
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Un exponente de 12 es una raíz cuadrada Un exponente de 13 es una raíz cúbica Un exponente de 14 es una raíz cuarta ¡Y así sucesivamente! |
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¿Por qué?
Veámoslo con un ejemplo.
Primero, las Leyes de los exponentes nos dicen cómo manejar los exponentes cuando multiplicamos:
Ejemplo: x2x3 = (xx)(xxx) = xxxxx = x5
Lo que muestra que x2x3 = x(2+3) = x5
Así que probemos eso con exponentes fraccionarios:
Ejemplo: ¿Cuánto es 9½ × 9½ ?
De modo que 9½ multiplicado por sí mismo da 9.
Ahora bien, ¿cómo llamamos a un número que, cuando se multiplica por sí mismo, da otro número? ¡La raíz cuadrada de ese otro número!
Mira:
√9 × √9 = 9
Y:
9½ × 9½ = 9
Por lo tanto, 9½ es lo mismo que √9
Probemos con otra fracción
Intentémoslo de nuevo, pero con un exponente de un cuarto (1/4):
Ejemplo:
Así que 16¼ usado 4 veces en una multiplicación da 16,
y por lo tanto 16¼ es una raíz cuarta de 16
Regla general
Funcionó para ½, funcionó con ¼, de hecho funciona en general:
x1/n = La raíz n-ésima de x
En otras palabras:
x1/n = n√x
Ejemplo: ¿Cuánto es 271/3 ?
Respuesta: 271/3 = 3√27 = 3
¿Qué pasa con fracciones más complicadas?
¿Qué tal un exponente fraccionario como 43/2 ?
En realidad está diciendo que hagamos un cubo (3) y una raíz cuadrada (1/2), en cualquier orden.
Permíteme explicarte.
Una fracción (como m/n) se puede separar en dos partes:
- una parte entera (m), y
- una parte fraccionaria (1/n)
Así que, dado que m/n = m × (1/n), podemos hacer esto:
xm/n = x(m × 1/n) = (xm)1/n = n√xm
El orden no importa, por lo que también funciona para m/n = (1/n) × m:
xm/n = x(1/n × m) = (x1/n)m = (n√x )m
Y obtenemos esto:
¡Tú eliges!
Algunos ejemplos:
Ejemplo: ¿Cuánto es 43/2 ?
43/2 = 43×(1/2) = √(43) = √(4×4×4) = √(64) = 8
o
43/2 = 4(1/2)×3 = (√4)3 = (2)3 = 8
De ambas formas se obtiene el mismo resultado.
Ejemplo: ¿Cuánto es 274/3 ?
274/3 = 274×(1/3) = 3√274 = 3√531441 = 81
o
274/3 = 27(1/3)×4 = (3√27 )4 = (3)4 = 81
¡Sin duda fue más fácil de la 2.ª forma!
Ahora... ¡Juega con la gráfica!
Mira con qué suavidad cambia la curva cuando juegas con las fracciones en esta animación; esto te muestra que esta idea de exponentes fraccionarios encaja perfectamente:
Cosas que puedes probar:
- Comienza con m=1 y n=1, luego aumenta n lentamente para que puedas ver 1/2, 1/3 y 1/4
- Luego prueba con m=2 y desliza n hacia arriba y hacia abajo para ver fracciones como 2/3 y así sucesivamente
- Ahora intenta hacer que el exponente sea −1
- Por último, intenta aumentar m, luego reducir n, luego reducir m, luego aumentar n: la curva debería dar vueltas y vueltas