Números Complejos

número complejo 7 + 3i
Un número complejo

Un número complejo es una combinación de

un número real y un número imaginario

Los números reales son números como:

12.38

−0.8625

3/4

√2

1998

¡Casi cualquier número que puedas imaginar es un número real!

Los números imaginarios cuando se elevan al cuadrado dan un resultado negativo.

Normalmente esto no sucede porque:

cuando elevamos al cuadrado un número positivo obtenemos un resultado positivo, y
cuando elevamos al cuadrado un número negativo también obtenemos un resultado positivo (porque negativo por negativo da positivo), por ejemplo −2 × −2 = +4

Pero imagínate que existen tales números, porque los queremos.

Hablemos un poco más de números imaginarios ...

La "unidad" de los números imaginarios (como 1 para los números reales) es i, que es la raíz cuadrada de −1

Porque cuando elevamos al cuadrado a i obtenemos −1

i² = −1

Ejemplos de números imaginarios:

1.04i

−2.8i

3i/4

(√2)i

1998i

Y mantenemos esa pequeña "i" ahí para recordarnos que tenemos que multiplicar por √−1

Números complejos

Cuando combinamos un número real y un número imaginario obtenemos un número complejo:

número complejo

Ejemplos:

1 + i

39 + 3i

0.8 − 2.2i

−2 + πi

√2 + i/2

¿Un número que es una combinación de dos números?

pizza 3/8

¿Puedes hacer un número combinando a partir de otros dos? ¡Claro que puedes!

Lo haces todo el tiempo en las fracciones. La fracción ³/₈ es un número hecho de un 3 y un 8. Sabemos que significa "3 de 8 partes iguales".

Pues bien, un número complejo es simplemente dos números sumados juntos (uno real y uno imaginario).

Cero

Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria.

Pero cualquiera de las dos puede ser 0, así que los números reales y los imaginarios son también números complejos.

Número complejo	Parte real	Parte imaginaria
3 + 2i	3	2
5	5	0	Real puro
−6i	0	−6	Imaginario puro

¿Complicado?

complejo de edificios

Complejo no significa complicado.

Significa que los dos tipos de números, reales e imaginarios, juntos forman un complejo, como un complejo de edificios (edificios unidos entre sí).

Una explicación visual

¿Ves cómo la recta numérica va de izquierda a derecha?

Bueno, hagamos que los números imaginarios vayan de arriba a abajo:

Y obtenemos el Plano Complejo

Ahora se puede mostrar un número complejo como un punto:

plano complejo 3+4i
El número complejo 3 + 4i

Suma

Para sumar dos números complejos sumamos las dos partes por separado:

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

Ejemplo: suma los números complejos 3 + 2i y 1 + 7i

suma los números reales, y
suma los números imaginarios:

(3 + 2i) + (1 + 7i)
= 3 + 1 + (2 + 7)i
= 4 + 9i

Prueba otro:

Ejemplo: suma los números complejos 3 + 5i y 4 − 3i

(3 + 5i) + (4 − 3i)
= 3 + 4 + (5 − 3)i
= 7 + 2i

Sobre el plano complejo queda así:

suma de vectores en un plano complejo

Multiplicar

Para multiplicar números complejos:

Cada parte del primer número complejo se multiplica por
cada parte del segundo número complejo

Usa el método "PIES", que significa "Primeros, Interiores, Exteriores, Segundos" (lee multiplicación de binomios para más detalles):

	Primeros: a × c Interiores: bi × c Exteriores: a × di Segundos: bi × di
(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi²

De esta forma:

Ejemplo: (3 + 2i)(1 + 7i)

(3 + 2i)(1 + 7i) = 3×1 + 3×7i + 2i×1+ 2i×7i

= 3 + 21i + 2i + 14i²

= 3 + 21i + 2i − 14 (porque i² = −1)

= −11 + 23i

Aquí otro ejemplo:

Ejemplo: (1 + i)²

(1 + i)(1 + i)= 1×1 + 1×i + 1×i + i²

= 1 + 2i − 1 (porque i² = −1)

= 0 + 2i

¡Pero hay una forma más rápida!

Usa esta regla:

(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i

Ejemplo: (3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1)i = −11 + 23i

¿Por qué funciona esta regla?

Es solo el método "PIES" después de un poco de trabajo:

(a+bi)(c+di) =ac + adi + bci + bdi² método PIES

=ac + adi + bci − bd (porque i²= −1)

=(ac − bd) + (ad + bc)i (reuniendo términos semejantes)

Y ahora ya tenemos el patrón (ac − bd) + (ad + bc)i.

Esta regla es ciertamente más rápida, pero si la olvidas, recuerda el método PIES.

Probemos con i²

Solo por diversión, usemos el método para calcular i²

Ejemplo: i²

Podemos escribir i con una parte real e imaginaria de esta forma 0 + i

i² = (0 + i)²= (0 + i)(0 + i)

= (0×0 − 1×1) + (0×1 + 1×0)i

= −1 + 0i

= −1

Y eso concuerda muy bien con la definición de que i²= −1

¡Así que todo funciona de maravilla!

Obtén más información en multiplicación de números complejos.

Conjugados

¡Necesitaremos saber acerca de los conjugados!

Un conjugado es donde se cambia el signo del medio así:

complejo conjugado

Un conjugado a menudo se escribe con una barra sobre él:

Ejemplo:

5 − 3i = 5 + 3i

Dividir

El conjugado se usa para ayudarnos en la división compleja.

El truco consiste en multiplicar tanto la parte superior como la inferior por el conjugado de la parte inferior.

Ejemplo: haz esta división:

2 + 3i4 − 5i

Multiplica arriba y abajo por el conjugado de 4 − 5i :

2 + 3i4 − 5i×4 + 5i4 + 5i = 8 + 10i + 12i + 15i²16 + 20i − 20i − 25i²

Ahora, recuerda que i² = −1, entonces:

= 8 + 10i + 12i − 1516 + 20i − 20i + 25

Suma términos similares (¡y nota como en la parte de abajo 20i − 20i se neutralizan!):

= −7 + 22i41

Por último, deberíamos volver a poner la respuesta en la forma a + bi:

= −7 41 + 2241i

¡LISTO!

Sí, hay que hacer algunos cálculos. Pero puede hacerse.

Multiplicar por el conjugado

Sin embargo, hay una forma más rápida.

En el ejemplo anterior, lo que sucedió en la parte inferior fue interesante:

(4 − 5i)(4 + 5i) = 16 + 20i − 20i − 25i²

¡Los términos del medio (20i - 20i) se cancelan! Además, i² = −1, así que terminamos con esto:

(4 − 5i)(4 + 5i) = 4² + 5²

Lo que es realmente un resultado bastante simple. La regla general es:

(a + bi)(a − bi) = a² + b²

Podemos usar eso para ahorrarnos tiempo cuando hacemos la división, como en este ejemplo:

Ejemplo: nuevamente el mismo ejemplo

2 + 3i4 − 5i

Multiplica arriba y abajo por el conjugado de 4 − 5i :

2 + 3i4 − 5i×4 + 5i4 + 5i = 8 + 10i + 12i + 15i²16 + 25