Plano Complejo
| ... éste es el plano complejo: |
¡Un plano para números complejos! |
(También se le conoce como "Diagrama de Argand")
Reales e Imaginarios hacen Complejos
Un número complejo es una combinación de un Número Real y un Número Imaginario:
Un número real es el tipo de número que usamos todos los días.
Ejemplos: 12.38, ½, 0, −2000
Cuando elevamos al cuadrado un número real obtenemos un resultado positivo (o cero):
22 = 2 × 2 = 4
12 = 1 × 1 = 1
02 = 0 × 0 = 0
¿Qué podemos elevar al cuadrado para obtener −1?
?2 = −1
Elevar al cuadrado −1 no funciona porque un negativo por un negativo da positivo: (−1) × (−1) = +1, y tampoco funcionaría otro Número Real.
Entonces parece que las matemáticas están incompletas ...
... pero podemos llenar el vacío imaginando que
hay un número que, cuando se multiplica por sí mismo, da -1
(llamémoslo i de imaginario):
i2 = −1
Un número imaginario, cuando lo elevamos al cuadrado da un resultado negativo:
.
Ejemplos: 5i, -3.6i, i/2, 500i
Y juntos:
Un número complejo es una combinación de un Número Real y un Número Imaginario:
Ejemplos: 3.6 + 4i, −0.02 + 1.2i, 25 − 0.3i, 0 + 2i
Poniendo un Númerjo Complejo en el Plano
Probablemente estés familiarizado con la recta numérica:
¿Pero dónde se colocaría un número complejo como 3+4i ?
Hagamos que la recta numérica real vaya de izquierda a derecha como de costumbre, y hagamos que la recta numérica imaginaria vaya de arriba a abajo:
| Podemos graficar un número complejo como 3
+ 4i :
Se coloca:
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Y aquí está 4 - 2i :
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Y ése es el plano complejo:
- complejo porque es una combinación de real e imaginario,
- plano porque es como un plano geométrico (bidimensional).
Un mundo completamente nuevo
Traigamos la idea de un plano (Coordenadas Cartesianas, Coordenadas Polares, Vectores, etc.) al mundo de los números complejos.
Abrirá un mundo completamente nuevo de números que son más completos y elegantes, como verás.
El número complejo como vector
Podemos pensar en un número complejo como en un vector.
Éste es un vector
Tiene magnitud (longitud) y dirección.
| Y aquí tenemos en número complejo 3 +
4i
como un Vector: |
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Sumar
También puedes sumar números complejos como si fueran vectores:
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Para sumar los números complejos 3 + 5i y 4 − 3i :
de forma separada, de esta forma: (3 + 5i)
+ (4 − 3i) =(3 +
4)+ (5 − 3)i
=7+ 2i
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Forma Polar
| Usemos 3 + 4i nuevamente: | |
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Aquí está en forma polar: |
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De modo que el número complejo 3 + 4i también puede escribirse mediante su longitud (5) y ángulo (0.927 radianes).
Veamos cómo convertir de una forma a otra usando conversión de Cartesianas a Polares:
Ejemplo: el número 3 + 4i
Podemos hacer una conversión de Cartesianas a Polares:
- r = √(x2 + y2) = √(32 + 42) = √25 = 5
- θ = tan-1 (y/x) = tan-1 (4/3) = 0.927 (a 3 decimales)
También podemos tomar coordenadas Polares y convertirlas en coordenadas Cartesianas:
- x = r × cos( θ ) = 5 × cos( 0.927 ) = 5 × 0.6002... = 3 (suficientemente cerca)
- y = r × sin( θ ) = 5 × sin( 0.927 ) = 5 × 0.7998... = 4 (suficientemente cerca)
De hecho, una forma común de escribir un número complejo en forma Polar es
| x + iy | = | r cos θ + i r sin θ |
| = | r(cos θ + i sin θ) |
Y "cos θ + i sin θ" a menudo se escribe como "cis θ", así:
x + iy = r cis θ
cis es solo una abreviatura de cos θ + i sin θ
Entonces podemos escribir:3 + 4i = 5 cis 0.927
En algunas materias, como la electrónica, ¡se usa mucho "cis"!
Resumen
- El plano complejo es un plano con:
- números reales que van de izquierda a derecha
- números imaginarios que van de arriba a abajo.
- Para convertir de Cartesiano a Forma Polar:
- r = √(x2 + y2)
- θ = tan-1 ( y / x )
- Para convertir de Forma Polar a Cartesiano:
- x = r × cos( θ )
- y = r × sin( θ )
- La Forma Polar r cos θ + i r sin θ a veces se abrevia como r cis θ
A continuación....aprende sobre multiplicación de números complejos.
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
