Resolviendo ecuaciones con radicales

Cómo resolver ecuaciones con raíces cuadradas, raíces cúbicas, y así sucesivamente.

Ecuaciones con radicales

Una ecuación con radicales es una ecuación con una raíz cuadrada o raíz cúbica, y así sucesivamente.

Resolviendo ecuaciones con radicales

Podemos deshacernos de una raíz cuadrada elevando al cuadrado (o de raíces cúbicas elevando al cubo, y así sucesivamente).

Advertencia: esto a veces puede generar "soluciones" que en realidad no funcionan cuando las sustituimos en la ecuación original. ¡Por lo tanto, tenemos que comprobar!

Sigue estos pasos:

Aísla la raíz cuadrada en un lado de la ecuación
Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación

¡Luego continúa con la solución!

Ejemplo: resuelve √(2x+9) − 5 = 0

Aísla la raíz cuadrada:√(2x+9) = 5 Eleva al cuadrado ambos lados:2x+9 = 25

¡Ahora debería ser más fácil de resolver!

Mueve el 9 a la derecha: 2x = 25 − 9 = 16 Divide entre 2:x = 16/2 = 8 Respuesta:x = 8

Comprobación: √(2·8+9) − 5 = √(25) − 5 = 5 − 5 = 0

Ese funcionó perfectamente.

Más de una raíz cuadrada

¿Qué pasa si hay dos o más raíces cuadradas? ¡Fácil! Simplemente repite el proceso para cada una.

Tomará más tiempo (muchos más pasos) ... pero nada demasiado difícil.

Ejemplo: resuelve √(2x−5) − √(x−1) = 1

Aísla una de las raíces cuadradas:√(2x−5) = 1 + √(x−1) Eleva al cuadrado ambos lados:2x−5 = (1 + √(x−1))²

Hemos eliminado una raíz cuadrada.

Desarrolla el lado derecho:

2x−5 = 1 + 2√(x−1) + (x−1)

Simplifica:

2x−5 = 2√(x−1) + x

Resta x de ambos lados:

x−5 = 2√(x−1)

Ahora haz lo de la "raíz cuadrada" nuevamente:

Aísla la raíz cuadrada:

√(x−1) = (x−5)/2

Eleva al cuadrado ambos lados:

x−1 = ((x−5)/2)²

Ahora hemos eliminado con éxito ambas raíces cuadradas.

Continuemos con la solución.

Desarrolla el lado derecho:

x−1 = (x² − 10x + 25)/4

¡Es una ecuación cuadrática! Así que pongámosla en forma estándar.

Multiplica por 4 para eliminar la división:

4x−4 = x² − 10x + 25

Pasa todo a la izquierda:

4x − 4 − x² + 10x − 25 = 0

Combina términos semejantes:

−x² + 14x − 29 = 0

Cambia todos los signos:

x² − 14x + 29 = 0

Usando la Fórmula cuadrática (a=1, b=−14, c=29) obtenemos las soluciones:

2.53 y 11.47 (a 2 decimales)

Comprobemos las soluciones:

2.53: √(2×2.53−5) − √(2.53−1) ≈ −1 ¡Uy! Debería ser +1.

11.47: √(2×11.47−5) − √(11.47−1) ≈ 1 Sí, esa funciona.

Realmente solo hay una solución:

Respuesta: 11.47 (a 2 decimales)

¿Ves? ¡Este método a veces puede producir soluciones que en realidad no funcionan!

La raíz que parecía funcionar, pero no era correcta cuando la comprobamos, se llama "raíz extraña" (o solución espuria).

Por lo tanto, la comprobación es importante.

8079, 8080, 8081, 8082, 575, 1218, 1216, 576, 8060, 8061