Determinante de una Matriz
El determinante de una matriz es un número especial que se puede calcular a partir de una matriz cuadrada.
La matriz tiene que ser cuadrada (mismo número de filas y columnas) como esta:
Una Matriz
(Esta tiene 2 filas y 2 columnas)
Calculemos el determinante de esa matriz:
3×6 − 8×4
= 18 − 32
= −14
Fácil, ¿verdad? Aquí tienes otro ejemplo:
Ejemplo:
B =
1234
El símbolo para el determinante son dos líneas verticales a cada lado, así:
|B| = 1×4 − 2×3
= 4 − 6
= −2
(Nota: es el mismo símbolo que el del valor absoluto).
¿Para qué sirve?
El determinante nos ayuda a encontrar la inversa de una matriz, nos dice cosas sobre la matriz que son útiles en sistemas de ecuaciones lineales, cálculo y más.
Cálculo del determinante
En primer lugar, la matriz debe ser cuadrada (es decir, tener el mismo número de filas que de columnas). Luego, es solo aritmética.
Para una matriz 2×2
Para una matriz 2×2 (2 filas y 2 columnas):
El determinante es:
|A| = ad − bc
"El determinante de A es igual a 'a' por 'd' menos 'b' por
'c'"
|
Es fácil de recordar si piensas en una cruz:
|
 |
Ejemplo: halla el determinante de
C =
4638
Respuesta:
Para una matriz 3×3
Para una matriz 3×3 (3 filas y 3 columnas):
El determinante es:
|A| = a(ei − fh) − b(di − fg) +
c(dh − eg)
"El determinante de A es igual a... etc."
Puede parecer complicado, pero hay un patrón:
Para calcular el determinante de una matriz 3×3:
- Multiplica a por el determinante de la matriz 2×2 que no está en la fila ni en la columna de a.
- Haz lo mismo para b y para c.
- Súmalos, pero recuerda el signo menos delante de b.
Como fórmula (recuerda que las barras verticales || significan "determinante de"):
"El determinante de A es igual a 'a' por el determinante de...
etc."
Ejemplo:
D =
6114−25287
Para matrices 4×4 y superiores
El patrón continúa para matrices 4×4:
- más a por el determinante de la matriz que no está en la fila ni en la columna de a,
- menos b por el determinante de la matriz que no está en la fila ni en la columna de b,
- más c por el determinante de la matriz que no está en la fila ni en la columna de c,
- menos d por el determinante de la matriz que no está en la fila ni en la columna de d,
Como fórmula:
Fíjate en el patrón +−+− (+a... −b... +c... −d...). Es importante recordarlo.
El patrón continúa para matrices 5×5 y superiores. ¡Normalmente es mejor usar una Calculadora de Matrices para esas!
No es la única forma
Este método de cálculo se llama "expansión de Laplace" (o desarrollo por cofactores) y me gusta porque el patrón es fácil de recordar. Pero existen otros métodos (solo para que lo sepas).
Resumen
- Para una matriz 2×2 el determinante es ad − bc
- Para una matriz 3×3 multiplica a por el determinante de la matriz 2×2 que no está en la fila ni en la columna de a; haz lo mismo para b y c, ¡pero recuerda que b tiene un signo negativo!
- El patrón continúa para matrices más grandes: multiplica a por el determinante de la matriz que no está en la fila ni en la columna de a, y continúa así por toda la fila, recordando el patrón + − + −.
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
