Derivadas Parciales
Una Derivada Parcial es una derivada donde mantenemos algunas variables como constantes. Como en este ejemplo:
Ejemplo: una función para una superficie que depende de dos variables, x y y
Cuando encontramos la pendiente en la dirección x (manteniendo y fija) hemos encontrado una derivada parcial.
O podemos encontrar la pendiente en la dirección y (manteniendo x fija).
Aquí hay una función de una variable (x):
f(x) = x2
Y su derivada (usando la Regla de las Potencias):
f’(x) = 2x
Pero ¿qué pasa con una función de dos variables (x y y)?
f(x,y) = x2 + y3
Para encontrar su derivada parcial con respecto a x, tratamos y como una constante (imagina que y es un número como 7 o algo así):
f’x = 2x + 0 = 2x
Explicación:
- la derivada de x2 (con respecto a x) es 2x
- tratamos a y como una constante, así que y3 también es una constante (imagina y = 7, luego 73 = 343, que también es una constante), y la derivada de una constante es 0.
Para encontrar la derivada parcial con respecto a y, tratamos a x como una constante:
f’y = 0 + 3y2 = 3y2
Explicación:
- ahora tratamos a x como una constante, entonces x2 también es una constante, y la derivada de una constante es 0
- la derivada de y3 (con respecto a y) es 3y2
Eso es todo lo que hay que hacer. Recuerda tratar todas las demás variables como si fueran constantes.
Tratando a una variable como si fuera una constante
Entonces, ¿cómo es eso de "tratar a una variable como si fuera una constante"?
Ejemplo: el volumen de un cilindro es V = π r2 h
La podemos escribir en forma "multi-variable" como
f(r,h) = π r2 h
Para la derivada parcial con respecto a r, mantenemos h constante y r cambia:
f’r = π (2r) h = 2πrh
(La derivada de r2 con respecto a r es 2r, y π y h son constantes)
Dice "como solo cambia el radio (en la menor cantidad), el volumen
cambia en 2πrh"
Es como si añadiéramos una piel con la circunferencia de un círculo (2πr) y una altura de h.
Para la derivada parcial con respecto a h mantenemos r
constante:
f’h = π r2 (1)= πr2
(π y r2 son constantes, y la derivada de h con respecto a h es 1)
Dice "como solo cambia la altura (en la menor cantidad), el volumen cambia en πr2"Es como si agregamos el disco más delgado en la parte superior con un área de círculo de πr2.
Veamos otro ejemplo:
Ejemplo: el área de la superficie de un prisma rectangular.
La superficie es: la parte superior e inferior con áreas de x2 cada una, y 4 lados de área xy:
f(x,y) = 2x2 + 4xy
f’x = 4x + 4y
f’y = 0 + 4x = 4x
Tres o Más Variables
Podemos tener 3 o más variables. Simplemente encuentra la derivada parcial de cada variable en cuestión mientras tratas a todas las demás variables como constantes.
Ejemplo: el volumen de un cubo con un prisma rectangular recortado.
f(x,y,z) = z3 − x2y
f’x = 0 − 2xy = −2xy
f’y = 0 − x2 = −x2
f’z = 3z2 − 0 = 3z2
Cuando hay muchas x y y puede resultar confuso, por lo que un truco mental es cambiar las variables "constantes" por letras como "c" o "k" que parezcan constantes.
Ejemplo: f(x,y) = y3sin(x) + x2tan(y)
¡Tiene x y y por todas partes! Intentemos el truco del cambio de letra.Con respecto a x podemos cambiar "y" por "k":
f(x,y) = k3sin(x) + x2tan(k)
f’x = k3cos(x) + 2x tan(k)
¡Pero recuerda poner las letras de vuelta!
f’x = y3cos(x) + 2x tan(y)
Asimismo, con respecto a y convertimos las "x" en "k":
f(x,y) = y3sin(k) + k2tan(y)
f’y = 3y2sin(k) + k2sec2(y)
f’y = 3y2sin(x) + x2sec2(y)
Hacer esto es un trabajo extra, así que solo hazlo si tienes problemas para recordar qué variable estás derivando.
Notación: aquí hemos usado f’x para indicar "la derivada parcial con respecto a x", pero otra notación muy común es usar una d inversa y curiosa (∂), así:
∂f∂x = 2x
Que es lo mismo que
f’x = 2x
Por cierto, ∂ se conoce como "del", "delta de Jacobi" o "parcial".
Y tenemos que ∂f ∂x se lee como "parcial de f con respecto a x"
Ejemplo: encuentra las derivadas parciales de f(x,y,z) = x4 − 3xyz usando la notación ∂
f(x,y,z) = x4 − 3xyz
∂f∂x = 4x3 − 3yz
∂f∂y = −3xz
∂f∂z = −3xy
Puede que prefieras esa notación, ciertamente se ve genial.
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
