Introducción a las Derivadas

¡Se trata de pendientes!

Pendiente = Cambio en YCambio en X

   gradiente

 

Podemos encontrar una pendiente media entre dos puntos.

 

   pendiente promedio = 24/15
Pero, ¿cómo encontramos la pendiente en un punto?

¡No hay nada que medir!		   pendiente 0/0 = ????

Pero con las derivadas usamos una pequeña diferencia ...

... luego hacemos que se reduzca a cero.

   pendiente delta y / delta x

¡Encontremos una derivada!

Para encontrar la derivada de una función y = f(x) usamos la fórmula de la pendiente:

Pendiente = Cambio en Y Cambio en X = ΔyΔx

pendiente delta x, y delta y

Y (del diagrama) vemos que:

x cambia de
   x a x+Δx
y cambia de   f(x) a f(x+Δx)

Ahora hay que seguir estos pasos:

De este modo:

Ejemplo: la función f(x) = x2

La fórmula de la pendiente es:
f(x+Δx) − f(x) Δx

Usa f(x) = x2:
(x+Δx)2 − x2 Δx

Desarrolla (x+Δx)2 como x2+2x Δx+(Δx)2:
x2 + 2x Δx + (Δx)2 − x2 Δx

Simplifica (x2 y −x2 se cancelan):
2x Δx + (Δx)2 Δx

Simplifica más (divide entre Δx):
2x + Δx

Luego, cuando Δx tiende a 0 nos da:
2x
 

Resultado: la derivada de x2 es 2x

En otras palabras, la pendiente en x es 2x

 

Se escribe dx en lugar de "Δx tiende a 0".

Y "la derivada de" se escribe comúnmente como  ddx:

ddxx2 = 2x

"La derivada de x2 es igual a 2x"
o simplemente "d/dx de x2 es igual a 2x"

la pendiente de x^2 en 2 es 4

¿Qué significa ddxx2 = 2x ?

Significa que, para la función x2, la pendiente o "tasa de cambio" en cualquier punto es 2x.

Así que cuando x=2 la pendiente es 2x = 4, como se muestra en la imagen:

O cuando x=5 la pendiente es 2x = 10, y así sucesivamente.

Nota: a veces  se usa f’(x) para indicar "la derivada de":

f’(x) = 2x
"La derivada de f(x) es igual a 2x"
o simplemente "f-prima de x es igual a 2x"

 

Probemos con otro ejemplo:

Ejemplo: ¿Cuál es la ddxx3 ?

Conocemos f(x) = x3, y queremos calcular f(x+Δx), hagámoslo:


La fórmula de la pendiente: f(x+Δx) − f(x) Δx
Usa f(x) = x3:
(x+Δx)3 − x3 Δx

Usa (x+Δx)3 = x3 + 3x2 Δx + 3x (Δx)2 + (Δx)3

Sustitución (x+Δx)3: x3 + 3x2 Δx + 3x (Δx)2 + (Δx)3 − x3 Δx Simplificamos (x3 y −x3 se cancelan): 3x2 Δx + 3x (Δx)2 + (Δx)3 Δx Simplificamos más (dividiendo entre Δx): 3x2 + 3x Δx + (Δx)2 Cuando Δx tiende a 0, nos da:3x2

Resultado: la derivada de x3 es 3x2

Practica, juega y aprende con el Graficador de Derivadas.

 

Derivadas de otras funciones

Podemos usar el mismo método para calcular derivadas de otras funciones (como seno, coseno, logaritmos, etc.).

Pero en la práctica la forma habitual de encontrar derivadas es usar:

Reglas de Derivación

 

Ejemplo: ¿cuál es la derivada de sen(x)?

En las Reglas de Derivación nos indica que es cos(x)

Listo.

¡Ojo: usar las reglas puede ser complicado!

Ejemplo: ¿cuál es la derivada de cos(x)sen(x)?

No puedes simplemente encontrar la derivada de cos(x) y multiplicarla por la derivada de sen(x) ... debes usar la "Regla del producto" como se explica en la página de Reglas de Derivación.

En realidad, resulta ser cos2(x) − sen2(x)

Entonces ese es tu próximo paso: aprender a usar las reglas.

Notación

"Tiende a cero" se escribe en realidad como un límite, de este modo:

f’(x) = limΔx→0 f(x+Δx) − f(x)Δx

"La derivada de f es igual a
el límite cuando Δx tiende a cero de f(x+Δx) − f(x) sobre Δx".

 

O a veces la derivada se escribe así (explicado en Derivadas como dy/dx):

dydx = f(x+dx) − f(x)dx

 

El proceso de encontrar una derivada se llama "diferenciación" o "derivación"

Se diferencía o se deriva para obtener una derivada.

¿Qué sigue?

Ve y aprende a encontrar derivadas usando las Reglas de Derivación, y practica mucho.


¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).

6790,6791,6792,6793,6794,6795,6796,6797,6798,6799
Reglas de Derivación Índice de Cálculo