Diferenciación Implícita

Encontrar la derivada cuando no puedes despejar y

¿Qué es lo que implicas?

Tal vez quieras leer primero Introducción a las Derivadas y Reglas de Derivación.

Implícita vs Explícita

Una función puede ser explícita o implícita:

Explícita: "y = alguna función de x". Cuando sabemos x podemos calcular y directamente.

Implícita: "alguna función de y y x es igual a otra cosa ". Saber x no conduce directamente a y.

Ejemplo: Un círculo

Forma Explícita   Forma Implícita
y = ± √ (r2 − x2)   x2 + y2 = r2
De esta forma, y se expresa
en función de x.
  De esta forma, la función es
expresada en términos de y y x.

gráfica de x^2 + y^2 = 9, un círculo
La gráfica de x2 + y2 = 32

Cómo hacer Diferenciación Implícita

Ejemplo: x2 + y2 = r2

Deriva con respecto a x:

d dx (x2) + d dx (y2) = d dx (r2)

Resolvamos cada término

Usa la Regla de las Potencias: d dx (x2) = 2x
Usa la Regla de la Cadena la Regla de la Cadena (se explica abajo): d dx (y2) = 2y dy dx
r2 es una constante, por lo que su derivada es 0: d dx (r2) = 0

Lo cual nos da:

2x + 2y dy dx = 0

Junta todos los dy dx de un solo lado

y dy dx = −x

Resuelve dy dx :

dy dx = −x y

La Regla de la Cadena Usando dy dx

Veamos en detalle cómo d dx (y2) se convierte en 2y dy dx

La Regla de la Cadena dice:

du dx = du dy dy dx

Sustituye in u = y2:

d dx (y2) = d dy (y2) dy dx

Y luego:

d dx (y2) = 2y dy dx

Básicamente, todo lo que hicimos fue diferenciar con respecto a y y multiplicar por  dy dx

Otra notación común es usar ’ para indicar d dx

La Regla de la Cadena Usando

La Regla de la Cadena también se puede escribir usando la notación ’ de esta forma:

f(g(x))’ = f’(g(x))g’(x)

g(x) es nuestra función "y", entonces:

f(y)’ = f’(y)y’

f(y) = y2, ergo f(y) = 2y:

f(y)’ = 2yy’

o alternativamente: f(y)’ = 2y dy dx

Nuevamente, todo lo que hicimos fue diferenciar con respecto a y y multiplicar por dy dx

Explícita

Ahora encontremos también la derivada usando la forma explícita de la ecuación.

Ejemplo: x2 + y2 = r2

Resta x2 de ambos lados:y2 = r2 − x2
Raíz cuadrada:y = ±√(r2 − x2
Considera solo la parte positiva: y = √(r2 − x2
Expresada como exponente: y = (r2 − x2)½
Deriva (Regla de la Cadena):y =½(r2 − x2)−½(2x)
Simplifica:y = −x(r2 − x2)−½
Simplifica más:y = −x (r2 − x2)½
Ahora, dado que y = (r2 − x2)½y = −x/y

¡Obtenemos el mismo resultado de esta manera!

Puedes intentar tomar la derivada del término negativo tú mismo.

¡Otra vez la Regla de la Cadena!

Así es, en realidad usamos nuevamente la Regla de la Cadena. Así (considera que son letras diferentes, pero la regla es la misma):

dy dx = dy df df dx

Se sustituye en f = (r2 − x2):

d dx (f½) = d df (f½) d dx (r2 − x2)

Las derivadas:

d dx (f½) = ½(f−½) (−2x)

Se sustituye nuevamente f = (r2 − x2):

d dx (r2 − x2)½ = ½((r2 − x2)−½) (−2x)

Y simplificamos a partir de ahí.

Uso de la Derivada

Bien... ¿Para qué nos puede servir haber encontrado esta derivada y’ = −x/y ?

Bueno, por ejemplo, podemos encontrar la pendiente de una recta tangente.

Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente de un círculo centrado en el origen con un radio de 5 en el punto (3,4)?

gráfica de x^2 + y^2 = 25 con una recta tangente

Sencillo, solo sustituye en nuestra ecuación:

dy dx = −x/y

dy dx = −3/4

Y como extra, la ecuación de la recta tangente es:

y = −3/4 x + 25/4

Otro Ejemplo

A veces, la forma implícita funciona cuando la forma explícita es difícil o imposible.

Ejemplo: 10x4 - 18xy2 + 10y3 = 48

¿Cómo despejamos y? ¡No tenemos que hacerlo!
De esta forma:
Empieza con:10x4 − 18xy2 + 10y3 = 48
Deriva:10 (4x3) − 18(x(2y dy dx ) + y2) + 10(3y2 dy dx ) = 0

(el término medio se explica más adelante)

Simplifica:40x3 − 36xy dy dx − 18y2 + 30y2 dy dx = 0
dy dx  a la izquierda:−36xy dy dx + 30y2dy dx = −40x3 + 18y2
Simplifica:(30y2−36xy) dy dx = 18y2 − 40x3
Simplifica:3(5y2−6xy) dy dx = 9y2 − 20x3

Y nos da:

dy dx =   9y2 − 20x3
3(5y2 − 6xy)

Regla del Producto

Para el término medio usamos la regla del producto: (fg)’ = f g’ + f’ g

(xy2)’ = x(y2)’ + (x)’y2
 = x(2y dy dx ) + y2

Porque (y2)’  = 2y dy dx  (lo resolvimos en un ejemplo anterior).

Oh, y dxdx = 1, en otras palabras, x’ = 1

Funciones Inversas

La diferenciación implícita puede ayudarnos a resolver funciones inversas.

El patrón general es:

Como paso final podemos intentar simplificar más sustituyendo la ecuación original.

Un ejemplo ayudará:

Ejemplo: la función seno inverso y = sin−1(x)

Empieza con:y = sin−1(x)
En modo no inverso:x = sin(y)
Deriva: d dx (x) = d dx sin(y)
 1 = cos(y) dy dx
Pon dy dx  a la izquierda: dy dx = 1 cos(y)

También podemos ir un paso más allá utilizando la identidad pitagórica:

sin2 y + cos2 y = 1

cos y = √(1 − sin2 y )

Y, como sin(y) = x (¡como se vio arriba!), obtenemos:

cos y = √(1 − x2)

Lo cual nos lleva a:

dy dx = 1 √(1 − x2)

Ejemplo: la derivada de la raíz de x, es decir, √x

Empieza con:y = √x
Es decir:y2 = x
Deriva:2y dy dx = 1
Simplifica: dy dx = 1 2y
Dado que y = √x: dy dx = 1 2√x

Nota: esta es la misma respuesta que obtenemos usando la Regla de las Potencias:

Empieza con:y = √x
Como potencia:y = x½
Regla de las Potencias d dx xn = nxn−1: dy dx = (½)x−½
Simplifica: dy dx = 1 2√x

Resumen

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).