La Regla del Producto

La Derivada nos dice la pendiente de una función en cualquier punto.

La Regla del Producto

La regla del producto nos dice cómo derivar el producto de dos funciones:

(fg)’ = fg’ + gf’

Nota: el apóstrofo significa "Derivada de", y f y g son funciones.

Ejemplo: ¿Cuál es la derivada de cos(x)sin(x) ?

La Regla del Producto dice:

(fg)’ = f g’ + f’ g

En nuestro caso:

Sabemos (por las Reglas de Derivación):

Así que:

la derivada de cos(x)sin(x) = cos(x)cos(x) − sin(x)sin(x)

= cos2(x) − sin2(x)

¿Por qué funciona?

Cuando multiplicamos dos funciones f(x) y g(x) el resultado es el área fg:

regla del producto

Cuando aumentamos x en una pequeña cantidad, tanto f como g también cambiarán un poco (dichos cambios son Δf y Δg). En este caso ambas aumentan haciendo el área más grande.

¿Cuánto más grande?

Incremento en el área = fΔg + ΔfΔg + gΔf

A medida que el cambio en x se dirige hacia cero, el término "ΔfΔg" también se dirige a cero, y obtenemos:

(fg)’ = fg’ + gf’

Notación Alternativa

Una forma alternativa de escribirla (llamada notación de Leibniz) es:

ddx(uv) = dudxv + udvdx

Tres Funciones

Para tres funciones multiplicadas juntas hacemos esto:

(fgh)’ =  f’gh + fg’h  + fgh’