La Segunda Derivada
Una derivada básicamente le da la pendiente de una función en
cualquier punto.
La derivada de 2x es 2
¡Lee primeramente sobre derivadas
si aún no sabes qué son!
La "segunda derivada" es la derivada de la derivada de una
función. Entonces:
- Encuentra la derivada de una función
- Luego toma la derivada de eso
Una derivada a menudo se muestra con una pequeña marca o apóstrofo: f'(x)
La segunda derivada se muestra con dos apóstrofos, así: f''(x)
Ejemplo: f(x) = x3
- Su derivada es f'(x) = 3x2
- La derivada de 3x2 es 6x, entonces la segunda derivada de f(x) es:
f''(x) = 6x
Una derivada también se puede escribir como dydx
y la segunda derivada como d2ydx2
Ejemplo: (continuación)
El ejemplo anterior podría escribirse así:
y = x3
dydx = 3x2
d2ydx2 = 6x
Distancia, rapidez y aceleración
Un ejemplo común de esto en el mundo real es la distancia, la rapidez y la aceleración:
Ejemplo: ¡Una carrera en bicicleta!
Estás participando en una carrera de bicicletas, avanzando a una rapidez constante de 10 m por segundo.
Distancia: es lo lejos que has avanzado en tu camino. Es
común usar la d para la distancia o la s
(del latín "Spatium").
Entonces usemos:
- distancia (en metros): s
- tiempo (en segundos): t
Rapidez: es cuánto cambia tu distancia s con el tiempo t ...
...y en realidad es la primera derivada de la distancia con respecto al tiempo: dsdt
Y sabemos que estás yendo a 10 m por segundo, así que dsdt = 10 m/s
Aceleración: ¡Ahora empiezas a pedalear más rápido! Aumentas tu rapidez a 14 m cada segundo durante los próximos 2 segundos.
Cuando estás acelerando, tu rapidez cambia con el tiempo.
¡Por lo quedsdt cambia con el tiempo!
| Lo podríamos escribir así: |
|
||
| dt |
Pero suele estar escrito como d2s dt2
Tu rapidez aumenta en 4 m/s durante 2 segundos, por lo que d2s dt2 = 42 = 2 m/s2
Tu rapidez cambia 2 metros por segundo por segundo.
Y sí, ¡"por segundo" se usa dos veces!
Se puede pensar en (m/s)/s pero generalmente se escribe m/s2
(Nota: en el mundo real, tu rapidez y aceleración cambian de un momento a otro, pero aquí asumimos que puedes mantener una rapidez constante o una aceleración constante).
Entonces:
| Medidas de Ejemplo |
||
| Distancia: | s | 100 m |
| La primera derivada es la Rapidez: | ds dt | 10 m/s |
| La segunda derivada es la Aceleración: | d2s dt2 | 2 m/s2 |
La tercera derivada de la posición con respecto al tiempo
(cómo cambia la aceleración con el tiempo). A veces se le llama
sobreaceleración, "tirón" o "jerk".
De hecho, podemos sentir esta sobreaceleración cuando empezamos a
acelerar, a aplicar los frenos o al doblar las esquinas mientras
nuestro cuerpo se adapta a las nuevas fuerzas.
Los ingenieros intentan reducir esta sobreaceleración al diseñar
ascensores, vías de tren, etc.
También:
- La cuarta derivada de la posición con respecto al tiempo se llama "chasquido" o "jounce"
- La quinta no tiene una traducción al español pero a veces se le llama por su nombre en inglés "crackle"
- La sexta tampoco tiene una traducción al español pero al igual que a la quinta, a veces se le llama por su nombre en inglés "pop"
¡En serio!
Van así: distancia, rapidez, aceleración, tirón, chasquido, crackle y pop
Aprende jugando
Aquí puedes ver la derivada f'(x) y la segunda derivada f''(x) de algunas funciones comunes.
Observa cómo la pendiente de cada función es el valor-y de la derivada graficada debajo de ella.
Por ejemplo, muévete a donde la pendiente de la función sin(x) se aplana (pendiente=0), luego verifica que la gráfica de la derivada está en cero. Algo similar ocurre entre f'(x) y f''(x). Prueba esto en diferentes puntos y otras funciones.
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
