Media, Mediana y Moda
en Frecuencias Agrupadas

media, mediana, moda

Explicadas con tres ejemplos

La carrera y el cachorro travieso

Esto comienza con algunos datos sin procesar (aún no son frecuencias agrupadas) ...

corredores

Alex cronometró a 21 personas en la carrera de velocidad, redondeando al segundo más cercano:

59, 65, 61, 62, 53, 55, 60, 70, 64, 56, 58, 58, 62, 62, 68, 65, 56, 59, 68, 61, 67

Para encontrar la Media Alex suma todos los números, luego divide entre la cantidad de números:

Media = 59 + 65 + 61 + 62 + 53 + 55 + 60 + 70 + 64 + 56 + 58 + 58 + 62 + 62 + 68 + 65 + 56 + 59 + 68 + 61 + 6721
Media = 61.38095...

Para encontrar la Mediana Alex coloca los números en orden de valor y encuentra el número del medio.

frecuencia

En este caso la mediana es el 11.º número:

53, 55, 56, 56, 58, 58, 59, 59, 60, 61, 61, 62, 62, 62, 64, 65, 65, 67, 68, 68, 70

Mediana = 61

Para encontrar la Moda, o valor modal, Alex coloca los números en orden de valor y luego cuenta cuántos hay de cada número. La moda es el número que aparece con más frecuencia (puede haber más de una moda):

53, 55, 56, 56, 58, 58, 59, 59, 60, 61, 61, 62, 62, 62, 64, 65, 65, 67, 68, 68, 70

62 aparece tres veces, más a menudo que los otros valores, por lo que Moda = 62

Tabla de Frecuencias Agrupadas

A continuación, Alex hace una Tabla de Frecuencias Agrupadas:

Segundos Frecuencia
51 - 55 2
56 - 60 7
61 - 65 8
66 - 70 4

frecuencia con grupos

Entonces 2 corredores tardaron entre 51 y 55 segundos, 7 tardaron entre 56 y 60 segundos, etc

¡Oh, no!

perro destrozando papeles

De repente, todos los datos originales se pierden (¡cachorro travieso!)


Solo la Tabla de Frecuencias Agrupadas sobrevivió ...

... ¿podemos ayudar a Alex a calcular la Media, la Mediana y la Moda solo con esa tabla?

La respuesta es ... no, no podemos. No con exactitud. Pero, podemos hacer estimaciones.

Estimación de la Media a partir de Datos Agrupados

Entonces todo lo que nos queda es:

Segundos Frecuencia
51 - 55 2
56 - 60 7
61 - 65 8
66 - 70 4

Los grupos (51-55, 56-60, etc.), también llamados intervalos de clase, tienen un ancho de 5

Los puntos medios están en el centro de cada clase: 53, 58, 63 y 68

frecuencias agrupadas

Podemos estimar la Media usando los puntos medios.

Entonces, ¿cómo funciona esto?

Piensa en los 7 corredores del grupo 56 - 60: todo lo que sabemos es que corrieron entre 56 y 60 segundos:

  • Tal vez los siete hicieron 56 segundos,
  • Tal vez los siete hicieron 60 segundos,
  • Pero es más probable que haya una dispersión de números: algunos a 56, otros a 57, etc

Entonces tomamos un promedio y asumimos que los siete tardaron 58 segundos.

Ahora hagamos la tabla usando puntos medios:

Punto medio Frecuencia
53 2
58 7
63 8
68 4

frecuencias agrupadas

Nuestro pensamiento es: "2 personas tardaron 53 segundos, 7 personas tardaron 58 segundos, 8 personas tardaron 63 segundos y 4 tardaron 68 segundos". En otras palabras, imaginamos que los datos se ven así:

53, 53, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 63, 68, 68, 68, 68

Luego los sumamos todos y dividimos entre 21. La forma rápida de hacerlo es multiplicar cada punto medio por cada frecuencia:

Punto medio
x		 Frecuencia
f		 Punto medio × Frecuencia
fx
53 2 106
58 7 406
63 8 504
68 4 272
Totales: 21 1288

Y luego nuestra estimación del tiempo medio para completar la carrera es:

Media estimada = 128821 = 61.333...

Muy cerca de la respuesta exacta que obtuvimos antes.

Estimación de la Mediana a partir de Datos Agrupados

Miremos nuestros datos nuevamente:

Segundos Frecuencia
51 - 55 2
56 - 60 7
61 - 65 8
66 - 70 4

frecuencias agrupadas

La mediana es el valor del medio, que en nuestro caso es el 11.º, el cual está en el grupo 61 - 65:

Podemos decir que "el grupo de la mediana es 61 - 65"

Pero si queremos un valor estimado de la mediana, necesitamos mirar más de cerca el grupo 61 - 65.

Lo llamamos "61 - 65", pero realmente incluye valores desde 60.5 hasta (pero sin incluir) 65.5.

¿Por qué? Bueno, los valores están en segundos completos, por lo que un tiempo real de 60.5 se mide como 61. Del mismo modo, 65.4 se mide como 65.

En 60.5 ya tenemos 9 corredores, y para el próximo límite en 65.5 tenemos 17 corredores. Al trazar una línea recta en el medio podemos determinar dónde está la frecuencia mediana de n/2 corredores:

frecuencias agrupadas

Y esta práctica fórmula hace el cálculo:

Mediana estimada = L + (n/2) − BG × w

donde:

Para nuestro ejemplo:

Mediana estimada= 60.5 + (21/2) − 98 × 5 = 60.5 + 0.9375 = 61.4375

Estimación de la Moda a partir de Datos Agrupados

Nuevamente, mirando nuestros datos:

Segundos Frecuencia
51 - 55 2
56 - 60 7
61 - 65 8
66 - 70 4

Podemos encontrar fácilmente el grupo modal (el grupo con la mayor frecuencia), que es 61 - 65

Podemos decir que "el grupo modal es 61 - 65"

¡Pero la Moda real puede que ni siquiera esté en ese grupo! O puede haber más de una moda. Sin los datos originales no lo sabemos con certeza.

Pero podemos estimar la Moda usando la siguiente fórmula:

Moda estimada = L + fm − fm-1(fm − fm-1) + (fm − fm+1) × w

donde:

En este ejemplo:

Moda estimada= 60.5 +  8 − 7(8 − 7) + (8 − 4) × 5 = 60.5 + (1/5) × 5 = 61.5

Nuestro resultado final es:

  • Media estimada: 61.333...
  • Mediana estimada: 61.4375
  • Moda estimada: 61.5

(Compara eso con la Media, Mediana y Moda verdaderas de 61.38..., 61 y 62 que obtuvimos al principio).

Y así es como se hace.

¡Ahora veamos dos ejemplos más y practiquemos un poco más en el camino!

Ejemplo de zanahorias baby

zanahorias

Ejemplo: Cultivaste cincuenta zanahorias baby usando tierra especial. Las cosechas, mides sus longitudes (al milímetro más cercano) y agrupas los resultados:

Longitud (mm) Frecuencia
150 - 154 5
155 - 159 2
160 - 164 6
165 - 169 8
170 - 174 9
175 - 179 11
180 - 184 6
185 - 189 3

Media

Longitud (mm) Punto medio
x		 Frecuencia
f
fx
150 - 154 152 5 760
155 - 159 157 2 314
160 - 164 162 6 972
165 - 169 167 8 1336
170 - 174 172 9 1548
175 - 179 177 11 1947
180 - 184 182 6 1092
185 - 189 187 3 561
  Totales: 50 8530

Media estimada = 853050 = 170.6 mm

Mediana

La mediana es la media de las longitudes 25.a y 26.a, por lo que está en el grupo 170 - 174:

Mediana estimada= 169.5 +  (50/2) − 219 × 5 = 169.5 + 2.22... = 171.7 mm (a 1 decimal)

Moda

El grupo modal es el que tiene la mayor frecuencia, que es 175 - 179:

Moda estimada= 174.5 +  11 − 9(11 − 9) + (11 − 6) × 5 = 174.5 + 1.42... = 175.9 mm (a 1 decimal)

Ejemplo de edades

La edad es un caso especial.

Cuando decimos "Sara tiene 17", ella sigue teniendo "17" hasta su decimoctavo cumpleaños.
Podría tener 17 años y 364 días y todavía se le llamaría "17".

Esto cambia los puntos medios y los límites de clase.

isla tropical

Ejemplo: Las edades de las 112 personas que viven en una isla tropical se agrupan de la siguiente manera:

Edad Número
0 - 9 20
10 - 19 21
20 - 29 23
30 - 39 16
40 - 49 11
50 - 59 10
60 - 69 7
70 - 79 3
80 - 89 1

Un niño en el primer grupo 0 - 9 podría tener casi 10 años. Así que el punto medio para este grupo es 5 no 4.5

Los puntos medios son 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75 y 85

De manera similar, en los cálculos de la Mediana y la Moda, usaremos los límites de clase 0, 10, 20 etc

Media

Edad Punto medio
x		 Número
f
fx
0 - 9 5 20 100
10 - 19 15 21 315
20 - 29 25 23 575
30 - 39 35 16 560
40 - 49 45 11 495
50 - 59 55 10 550
60 - 69 65 7 455
70 - 79 75 3 225
80 - 89 85 1 85
  Totales: 112 3360

Media estimada = 3360112 = 30

Mediana

La mediana es la media de las edades de las personas 56.a y 57.a, por lo que está en el grupo 20 - 29:

Mediana estimada= 20 +  (112/2) − 4123 × 10 = 20 + 6.52... = 26.5 (a 1 decimal)

Moda

El grupo modal es el que tiene la mayor frecuencia, que es 20 - 29:

Moda estimada= 20 +  23 − 21(23 − 21) + (23 − 16) × 10 = 20 + 2.22... = 22.2 (a 1 decimal)

Resumen

8731, 8732, 8830, 8831, 8832, 8833, 8834, 8835, 8836, 8837
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