Volumen de un Cilindro Horizontal

¿Cómo encontramos el volumen de un cilindro como este, cuando solo conocemos su longitud, su radio y la altura de qué tan lleno está?

 

Primero calculamos el área en un extremo (explicación a continuación):

Área = cos^-1(r − hr) r² − (r − h) √(2rh − h²)

Donde:

• r es el radio del cilindro
• h es la altura a la que está lleno el cilindro

Y luego multiplica por la Longitud para obtener Volumen:

Volumen = Área × Longitud

 

¿Por qué calcular el área primero? ¡Es para que podamos verificar si es un valor razonable! Podemos dibujar cuadrados en un tanque real y ver si el área coincide con el mundo real, o simplemente pensar en cómo se compara el área con un círculo completo.

Calculadora

Ingresa los valores de radio, altura rellenada y longitud, la respuesta se calcula "en vivo":

Área Formula

¿Cómo obtuvimos esa fórmula de área?

Es el área del sector (la rebanada de pizza) menos la parte triangular.

Área del Segmento = Área del Sector − Área del Triángulo

Veamos este diagrama:

Con un poco de geometría podemos hallar ese ángulo. θ/2 = cos^-1(r − hr), de modo que

Área del Sector = cos^-1(r − hr) r²

Y para el medio triángulo tenemos que su altura = (r − h). Y la base se puede calcular usando Pitágoras:

• b² = r² − (r−h)²
• b² = r² − (r²−2rh + h²)
• b² = 2rh − h²
• b = √(2rh − h²)

Entonces ese medio triángulo tiene un área de ½(altura × base), así que para el triángulo completo:

Área del Triángulo = (r − h) √(2rh − h²)

Entonces:

Área del Segmento = cos^-1(r − hr) r² − (r − h) √(2rh − h²)