Teorema de Pitágoras y Áreas

Teorema de Pitágoras

Comencemos con un recordatorio del tradicional y conocido Teorema de Pitágoras.

El Teorema de Pitágoras dice que, en un triángulo rectángulo:
el cuadrado de la hipotenusa (c) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (a y b).

a² + b² = c²

Eso significa que podemos dibujar cuadrados en cada lado:

Y esto se cumplirá:

A + B = C

Puedes saber más sobre el Teorema de Pitágoras y comprender su demostración algebraica.

Un Teorema de Pitágoras más poderoso

Digamos que queremos dibujar semicírculos alrededor de cada lado de un triángulo rectángulo.

A, B y C son las áreas de cada
semicírculo con diámetros a, b y c.

¿Quizá A + B = C ?

¡Pero no son cuadrados! Sin embargo, sigamos adelante de todos modos para ver a dónde nos lleva.

OK, el área de un círculo con diámetro "D" es:

Área del Círculo = 1 4  π D²

Así que el área de un semicírculo es la mitad de eso:

Área del Semicírculo = 1 8  π D²

Y así, esta es el área de cada semicírculo:

A = 1 8  πa²

B = 1 8  πb²

C = 1 8  πc²

Volvamos a nuestra pregunta:

Hagamos una sustitución:

¿ 1 8 πa² + 1 8 πb² = 1 8 πc²  ?

Podemos factorizar 1 8 π y ahora tenemos:

a² + b² = c²

¡Sí! Es simplemente el Teorema de Pitágoras.

Por lo tanto, hemos demostrado que el Teorema de Pitágoras es cierto para los semicírculos.

¿Funcionará con cualquier otra figura?

¡Sí! El Teorema de Pitágoras puede generalizarse siempre y cuando las figuras sean similares (tiene un significado especial en la geometría).

El teorema también se aplica a figuras geniales que no son polígonos, como este increíble dragón.

¡Genial!