Factorizando en Álgebra
Factores
Los números tienen factores:
Y las expresiones (como x2 + 4x + 3) también tienen factores:
Factorizando
Factorizar es el proceso de encontrar los factores:
Factorizar: encontrar qué multiplicar para obtener una expresión.
Es como "separar" una expresión en una multiplicación de expresiones más simples.
Ejemplo: factoriza 2y + 6
Tanto 2y como 6 tienen un factor común de 2:
- 2y es 2×y
- 6 es 2×3
Entonces podemos factorizar toda la expresión en:
2y+6 = 2(y+3)
De modo que 2y+6 ha sido "factorizada en" 2 y y+3
Factorizar también es lo opuesto a Desarrollar:
Factor común
En el ejemplo anterior vimos que 2y y 6 tenían un factor común de 2
Pero para hacer el trabajo correctamente, necesitamos el factor común más grande, incluidas las variables
Ejemplo: factoriza 3y2 + 12y
En primer lugar, 3 y 12 tienen un factor común de 3.
Entonces podríamos tener:
3y2 + 12y = 3(y2 + 4y)
¡Pero podemos hacerlo mejor!
3y2 y 12y también comparten la variable y.
Juntos forman 3y:
- 3y2 es 3y × y
- 12y es 3y × 4
Entonces podemos factorizar toda la expresión en:
3y2 + 12y = 3y(y + 4)
Comprobación: 3y(y+4) = 3y × y + 3y × 4 = 3y2 + 12y
Factorización más complicada
¡Factorizar puede ser difícil!
Los ejemplos han sido simples hasta ahora, pero factorizar puede ser muy complicado.
¡Porque tenemos que descubrir lo que se multiplicó para producir la expresión que se nos da!
Es como tratar de encontrar qué ingredientes
entraron en un pastel para hacerlo tan delicioso.
¡Puede ser difícil de descifrar!
La experiencia ayuda
Con más experiencia, factorizar se vuelve más fácil.
Ejemplo: factoriza 4x2 − 9
Mmm... no parece haber ningún factor común.
Pero conocer los productos binomiales especiales nos da una pista llamada la "diferencia de cuadrados":
Porque 4x2 es (2x)2, y 9 es (3)2,
Así que tenemos:
4x2 − 9 = (2x)2 − (3)2
Y eso se puede obtener mediante la fórmula de la diferencia de cuadrados:
(a+b)(a−b) = a2 − b2
Donde a es 2x, y b es 3.
Así que intentemos hacer eso:
(2x+3)(2x−3) = (2x)2 − (3)2 = 4x2 − 9
¡Sí!
Por lo tanto, los factores de 4x2 − 9 son (2x+3) y (2x−3):
Respuesta: 4x2 − 9 = (2x+3)(2x−3)
¿Cómo puedes aprender a hacer eso? ¡Obteniendo mucha práctica y conociendo "identidades"!
Recuerda estas identidades
Aquí hay una lista de "identidades" comunes (incluida la "diferencia de cuadrados" utilizada anteriormente).
Vale la pena recordarlas, ya que pueden facilitar la factorización.
 |
||
| a2 − b2 | = | (a+b)(a−b) |
| a2 + 2ab + b2 | = | (a+b)(a+b) |
| a2 − 2ab + b2 | = | (a−b)(a−b) |
| a3 + b3 | = | (a+b)(a2−ab+b2) |
| a3 − b3 | = | (a−b)(a2+ab+b2) |
| a3+3a2b+3ab2+b3 | = | (a+b)3 |
| a3−3a2b+3ab2−b3 | = | (a−b)3 |
Hay muchas más como esas, pero estas son las más útiles.
Consejo
La forma factorizada suele ser la mejor.
Cuando intentes factorizar, sigue estos pasos:
- "Factoriza" cualquier término común
- Observa si se ajusta a alguna de las identidades, más cualquier otra que conozcas
- Sigue hasta que no puedas factorizar más
También hay Sistemas de Álgebra Computacional (llamados "CAS" por sus siglas en inglés) como Axiom, Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPAD, Reduce y otros que pueden hacer factorizaciones.
Más ejemplos
La experiencia ayuda, así que aquí hay más ejemplos para ayudarte en el camino:
Ejemplo: w4 − 16
¿Un exponente de 4? Tal vez podríamos probar un exponente de 2:
w4 − 16 = (w2)2 − 42
Y ahora es una diferencia de cuadrados
w4 − 16 = (w2+ 4)(w2− 4)
Y "(w2− 4)" es otra diferencia de cuadrados
w4 − 16 = (w2+ 4)(w+ 2)(w− 2)
Hasta ahí es donde podemos llegar (a menos que usemos números imaginarios)
Ejemplo: z3 − z2 − 9z + 9
Intenta factorizar los dos primeros y los segundos dos por separado:
z2(z−1) − 9(z−1)
Wow, (z−1) está en ambos, así que usemos eso:
(z2−9)(z−1)
Y z2−9 es una diferencia de cuadrados
(z−3)(z+3)(z−1)
Eso es lo más lejos que puedo llegar.
¡Para que obtengas más experiencia intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: se requiere un poco de conocimiento del idioma inglés, pero te animo a intentarlo).