Factorizando Cuadráticas
Una Ecuación Cuadrática en Forma Estándar
(a, b, y c puede tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.)
"Factorizar" una ecuación cuadrática es:
Encontrar qué multiplicar para obtener la cuadrática
Se llama "Factorización" porque encontramos los factores (un factor es algo que multiplicamos por otra cosa).
Ejemplo: (x+4) y (x−1) son factores de x2 + 3x − 4
Vamos a "desarrollar" (x+4) y (x−1) para estar seguros:
Sí, (x+4) y (x−1) son definitivamente factores de x2 + 3x − 4
¿Viste que desarrollar y factorizar son opuestos?
Desarrollar suele ser fácil, pero factorizar a menudo puede ser complicado.
Es como intentar descubrir qué ingredientes
lleva un pastel para que sea tan delicioso.
¡Puede ser difícil de averiguar!
Bien, intentemos un ejemplo donde aún no conocemos los factores:
Factor común
Primero podemos buscar cualquier factor común.
Ejemplo: ¿cuáles son los factores de 6x2 − 2x = 0?
6 y 2 tienen un factor común de 2:
2(3x2 − x) = 0
Y x2 y x tienen un factor común de x:
2x(3x − 1) = 0
¡Y ya lo tenemos! Los factores son 2x y 3x − 1.
Ahora también podemos encontrar las raíces (donde es igual a cero):
- 2x es 0 cuando x = 0
- 3x − 1 es cero cuando x = 13
Y este es el gráfico (mira cómo es cero en x=0 y x=13):
Pero no siempre es tan fácil...
Tanteo (Adivinar y comprobar)
Ejemplo: ¿cuáles son los factores de 2x2 + 7x + 3?
No hay factores comunes.
¿Tal vez podamos adivinar una respuesta? Luego comprobamos si estamos en lo cierto... ¡podríamos tener suerte!
Adivinemos (2x+3)(x+1):
¿Qué tal (2x+7)(x−1):
Bien, ¿y (2x+9)(x−1):
Podríamos estar adivinando por mucho tiempo antes de tener suerte.
Ese no es un método muy bueno. Así que intentemos algo más.
Un método para casos simples
Existe un método para casos simples.
Con la ecuación cuadrática en esta forma:
Paso 1: Encuentra dos números que multiplicados den ac (es decir, a por c), y sumados den b.
Ejemplo: 2x2 + 7x + 3
ac es 2×3 = 6 y b es 7
Así que buscamos dos números que multiplicados den 6 y sumados den 7.
De hecho, 6 y 1 lo hacen (6×1=6, y 6+1=7).
¿Cómo encontramos el 6 y el 1?
Ayuda listar los factores de ac=6, y luego intentar sumar algunos para obtener b=7.
Los factores de 6 incluyen 1, 2, 3 y 6.
¡Ajá! 1 y 6 suman 7, y 6×1=6.
Paso 2: Reescribe el término medio con esos números:
Reescribe 7x con 6x y 1x:
2x2 + 6x + x + 3
Paso 3: Factoriza los dos primeros términos y los dos últimos por separado:
Los dos primeros términos 2x2 + 6x se factorizan como 2x(x+3).
Los dos últimos términos x+3 en realidad no cambian en este caso.
Así obtenemos:
2x(x+3) + (x+3)
Paso 4: Si lo hemos hecho correctamente, nuestros dos nuevos términos deberían tener un factor común claramente visible.
En este caso podemos ver que (x+3) es común a ambos términos, así que podemos hacer:
¡Hecho!
Comprobación: (2x+1)(x+3) = 2x2 + 6x + x + 3 = 2x2 + 7x + 3 (Correcto)
Veamos los pasos del 1 al 4 otra vez, todos juntos:
| 2x2 + 7x + 3 |
| 2x2 + 6x + x + 3 |
| 2x(x+3) + (x+3) |
| 2x(x+3) + 1(x+3) |
| (2x+1)(x+3) |
Bien, intentemos otro ejemplo:
Ejemplo: 6x2 + 5x − 6
Paso 1: ac es 6×(−6) = −36, y b es 5
Listamos los factores positivos de ac = −36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Uno de los números tiene que ser negativo para obtener −36, así que probando con algunos números diferentes encontramos que −4 y 9 funcionan bien:
−4×9 = −36 y −4+9 = 5
Paso 2: Reescribe 5x con −4x y 9x:
6x2 − 4x + 9x − 6
Paso 3: Factoriza los dos primeros y los dos últimos:
2x(3x − 2) + 3(3x − 2)
Paso 4: El factor común es (3x − 2):
(2x+3)(3x − 2)
Comprobación: (2x+3)(3x − 2) = 6x2 − 4x + 9x − 6 = 6x2 + 5x − 6 (Correcto)
Cómo encontrar esos números
La parte más difícil es encontrar dos números que multiplicados den ac y sumados den b.
Es en parte cuestión de tanteo, y ayuda listar todos los factores.
Aquí tienes otro ejemplo para ayudarte:
Ejemplo: ac = −120 y b = 7
¿Qué dos números multiplicados dan −120 y sumados dan 7?
Los factores de 120 son (más y menos):
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, y 120
Podemos probar pares de factores (¡empieza cerca del medio!) y ver si suman 7:
- −10 x 12 = −120, y −10+12 = 2 (no)
- −8 x 15 = −120 y −8+15 = 7 (¡SÍ!)
¡A practicar!
Ayuda mucho practicar la factorización de cuadráticas simples.
¿Por qué factorizar?
Bueno, uno de los grandes beneficios de factorizar es que podemos encontrar las raíces de la ecuación cuadrática (donde la ecuación es igual a cero).
Todo lo que necesitamos hacer (después de factorizar) es encontrar dónde cada uno de los dos factores se hace cero.
Ejemplo: ¿cuáles son las raíces (ceros) de 6x2 + 5x − 6 ?
Ya sabemos (por lo anterior) que los factores son:
(2x + 3)(3x − 2)
Y podemos calcular que:
(2x + 3) es cero cuando x = −3/2
(3x − 2) es cero cuando x = 2/3
Así que las raíces de 6x2 + 5x − 6 son:
−3/2 y 2/3
Aquí tienes una gráfica de 6x2 + 5x − 6, ¿puedes ver dónde es igual a cero?
También podemos comprobarlo con un poco de aritmética:
En x = −32: 6(−32)2 + 5(−32) − 6 = 6×(94) − 152 − 6 = 544 − 152 − 6 = 0
En x = 23: 6(23)2 + 5(23) − 6 = 6×(49) + 103 − 6 = 249 + 103 − 6 = 0
Graficar
También podemos intentar graficar la ecuación cuadrática, ya que ver dónde es igual a cero nos puede dar pistas.
Ejemplo: (continuación)
Empezando con 6x2 + 5x − 6 y solo con este gráfico:
Las raíces están alrededor de x = −1.5 y x = +0.67, así que podemos suponer que las raíces son:
−3/2 y 2/3
Lo cual nos ayuda a deducir los factores 2x + 3 y 3x − 2.
¡Pero comprueba siempre! El valor del gráfico de +0.67 podría no ser realmente 2/3.
Solución General
Las ecuaciones cuadráticas tienen simetría; la izquierda y la derecha son como imágenes especulares:
La línea media está en −b/2, y podemos calcular el valor w con estos pasos:
- Primero, "a" debe ser 1; si no, divide b y c por a:
- b = b/a, c = c/a
- medio = −b/2
- w = √(medio2 − c)
- las raíces están en medio−w y medio+w
Ejemplo: x2 + 3x − 4
a = 1, b = 3 y c = −4
- a= 1, así que podemos pasar al siguiente paso
- medio = −32
- w = √[(32)2 − (−4)] = √(94 + 4) = √254 = 52
- las raíces están en −32−52 = −4 y −32+52 = 1
Así que podemos factorizar x2 + 3x − 4 en (x + 4)(x − 1)
Fórmula cuadrática
También podemos usar la fórmula cuadrática:
Obtenemos dos respuestas x+ y x− (una es para el caso "+" y la otra para el caso "−" en el "±") que nos permiten obtener esta factorización:
a(x − x+)(x − x−)
Ejemplo: ¿cuáles son las raíces de 6x2 + 5x − 6 ?
Sustituye a=6, b=5 y c=−6 en la fórmula:
x = −b ± √(b2 − 4ac)2a
= −5 ± √(52 − 4×6×(−6))2×6
= −5 ± √(25 + 144)12
= −5 ± √16912
= −5 ± 1312
Así que las dos raíces son:
x+ = (−5 + 13) / 12 = 8/12 = 2/3,
x− = (−5 − 13) / 12 = −18/12 = −3/2
(Nota que obtenemos la misma respuesta que cuando hicimos la factorización anteriormente).
Ahora coloca esos valores en a(x − x+)(x − x−):
6(x − 2/3)(x + 3/2)
Podemos reorganizar eso un poco para simplificarlo:
3(x − 2/3) × 2(x + 3/2) = (3x − 2)(2x + 3)
¡Hecho!
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
