Derivación de la fórmula cuadrática

Descubramos cómo se puede obtener la famosa fórmula cuadrática mediante una serie de pasos algebraicos.

Una ecuación cuadrática tiene este aspecto:

Y se puede resolver usando la fórmula cuadrática:

Fórmula cuadrática: x = [ -b (+-) sqrt(b^2 - 4ac) ] / 2a

Esta fórmula parece mágica, pero puedes seguir los pasos para ver de dónde viene.

1. Completar el cuadrado

ax² + bx + c tiene la "x" dos veces, lo que hace que sea difícil de resolver.

Pero hay una forma de reorganizarla para que la "x" solo aparezca una vez. Se llama Completar el cuadrado (¡por favor, lee eso primero!).

Nuestro objetivo es obtener algo como x² + 2dx + d², que luego pueda simplificarse a (x+d)²

Así que, allá vamos:

Empezamos con $ax^2 + bx + c=0$ Divide la ecuación por a $x^2 + bx/a + c/a = 0$ Pasa c/a al otro lado $x^2 + bx/a = -c/a$ Suma (b/2a)² a ambos lados $x^2 + bx/a + (b/2a)^2 = -c/a + (b/2a)^2$

El lado izquierdo está ahora en el formato x² + 2dx + d², donde "d" es "b/2a". Así que podemos volver a escribirlo de esta manera:

"Completar el cuadrado" $(x+b/2a)^2 = -c/a + (b/2a)^2$

Ahora la x solo aparece una vez y estamos progresando.

2. Ahora despejamos "x"

Intentaremos reorganizar la ecuación para tener solo "x" a la izquierda:

Empezamos con $(x+b/2a)^2 = -c/a + (b/2a)^2$ Raíz cuadrada a ambos lados $(x+b/2a) = (+-) sqrt(-c/a+(b/2a)^2)$ Mueve b/2a a la derecha $x = -b/2a (+-) sqrt(-c/a+(b/2a)^2)$

¡x ya está sola!
ahora vamos a simplificar

Multiplica la derecha por 2a/2a $x = [ -b (+-) sqrt(-(2a)^2 c/a + (2a)^2(b/2a)^2) ] / 2a$ Simplifica dentro de la raíz $x = [ -b (+-) sqrt(-4ac + b^2) ] / 2a$

Que es la fórmula cuadrática que todos conocemos y amamos:

Fórmula cuadrática: x = [ -b (+-) sqrt(b^2 - 4ac) ] / 2a