Derivación de la fórmula cuadrática

Esta es la forma de una ecuación cuadrática:

Ecuación cuadrática

Y se puede resolver con la fórmula cuadrática:

Fórmula cuadrática

Esta fórmula parece mágica, pero ahora puedes seguir los pasos para ver de dónde viene.

1. Completar el cuadrado

ax² + bx + c tiene la "x" dos veces, lo que hace que sea difícil de resolver.

Pero hay una forma de reorganizarla para que la "x" solo aparezca una vez. Se llama Completar el cuadrado (¡por favor, lee eso primero!).

Nuestro objetivo es obtener algo como x² + 2dx + d², que luego pueda simplificarse a (x+d)²

Así que, allá vamos:

Empezamos con $ax^2 + bx + c=0$

Divide la ecuación por a $x^2 + bx/a + c/a = 0$

Pasa c/a al otro lado $x^2 + bx/a = -c/a$

Suma (b/2a)² a ambos lados $x^2 + bx/a + (b/2a)^2 = -c/a + (b/2a)^2$

El lado izquierdo está ahora en el formato x² + 2dx + d², donde "d" es "b/2a". Así que podemos volver a escribirlo de esta manera:

"Completar el cuadrado" $(x+b/2a)^2 = -c/a + (b/2a)^2$

Ahora la x solo aparece una vez y estamos progresando.

Intentaremos reorganizar la ecuación para tener solo la "x" a la izquierda:

Empezamos con $(x+b/2a)^2 = -c/a + (b/2a)^2$

Raíz cuadrada a ambos lados $(x+b/2a) = (+-) sqrt(-c/a+(b/2a)^2)$

Mueve b/2a a la derecha $x = -b/2a (+-) sqrt(-c/a+(b/2a)^2)$

¡La x ya está sola!
pero vamos a simplificar

Multiplica la derecha por 2a/2a $x = [ -b (+-) sqrt(-(2a)^2 c/a + (2a)^2(b/2a)^2) ] / 2a$

Simplifica dentro de la raíz $x = [ -b (+-) sqrt(-4ac + b^2) ] / 2a$

Que es la fórmula cuadrática que todos conocemos y amamos:

Fórmula cuadrática: x = [ -b (+-) sqrt(b^2 - 4ac) ] / 2a