Completar el Cuadrado

"Completar el cuadrado" es cuando tomamos ...

... una ecuación cuadrática como esta:
ax² + bx + c = 0

y la convertimos en esto:
a(x+d)² + e = 0

Para aquellos que tengan prisa, les puedo decir que:

d = b2a e = c − b²4a

Pero si tienes tiempo, déjame mostrarte cómo "Completar el cuadrado" por ti mismo.

Completar el Cuadrado

Supongamos que tenemos una expresión sencilla como x² + bx. Tener x dos veces en la misma expresión puede complicarnos la vida. ¿Qué podemos hacer?

Bueno, con un poco de inspiración geométrica podemos convertirla, de la siguiente forma:

Completando el cuadrado geométricamente

Como puedes ver, x² + bx puede ser reacomodado casi en un cuadrado ...

... y podemos completar el cuadrado con (b/2)²

En álgebra se ve de esta forma:

x² + bx	+ (b/2)²	=	(x+b/2)²
	"Completa el cuadrado"

Por lo tanto, al sumar (b/2)² podemos completar el cuadrado.

El resultado de (x+b/2)² tiene x solo una vez, lo cual es más fácil de usar.

Mantener el equilibrio

Ahora ... ¡no podemos simplemente sumar (b/2)² sin restarlo también! De lo contrario, todo el valor cambiaría.

Veamos cómo hacerlo correctamente con un ejemplo:

Empieza con:
	("b" es 6 en este caso)

Completa el cuadrado:
	(Suma y resta el nuevo término)
Simplifícalo y listo.

El resultado:

x² + 6x + 7 = (x+3)² − 2

¡Y ahora x aparece una sola vez, y nuestro trabajo ha terminado!

Un método abreviado

Aquí hay un método que te puede gustar, es rápido una vez que te acostumbras.

Primero piensa en el resultado que queremos: (x+d)² + e

El cual se puede desarrollar para obtener: x² + 2dx + d² + e

Ahora veamos si podemos transformar nuestro ejemplo a esa forma para descubrir d y e.

Ejemplo: intenta encajar x² + 6x + 7 en x² + 2dx + d² + e

x^2 + (6x) + [7] coincide con x^2 + (2dx) + [d^2+e]

Ahora podemos "forzar" una respuesta:

Sabemos que 6x debe terminar siendo 2dx, por lo que d debe ser 3
A continuación, vemos que 7 debe convertirse en d² + e = 9 + e, por lo que e debe ser −2

¡Y obtenemos el mismo resultado (x+3)² − 2 de antes!

Ahora, veamos una aplicación útil: resolver ecuaciones cuadráticas ...

Resolver ecuaciones cuadráticas generales completando el cuadrado

Podemos completar el cuadrado para resolver una ecuación cuadrática (hallar dónde es igual a cero).

Pero una ecuación cuadrática general puede tener un coeficiente a delante de x²:

ax² + bx + c = 0

Para resolver eso, primero dividimos toda la ecuación entre "a" y luego continuamos:

x² + (b/a)x + c/a = 0

Pasos

Ahora podemos resolver una ecuación cuadrática en 5 pasos:

Paso 1 Divide todos los términos entre a (el coeficiente de x²)
Paso 2 Mueve el término numérico (c/a) al lado derecho de la ecuación
Paso 3 Completa el cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación y equilíbralo sumando el mismo valor al lado derecho de la ecuación

Ahora tenemos algo que se parece a (x + p)² = q, que se puede resolver de esta manera:

Paso 4 Toma la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación
Paso 5 Resta el número que queda en el lado izquierdo de la ecuación para hallar x

Ejemplos

¡Bien, algunos ejemplos ayudarán!

Ejemplo 1: Resuelve x² + 4x + 1 = 0

El Paso 1 se puede omitir en este ejemplo ya que el coeficiente de x² es 1

Paso 2 Mueve el término numérico al lado derecho de la ecuación:

x² + 4x = -1

Paso 3 Completa el cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación y equilíbralo sumando el mismo número al lado derecho de la ecuación.

(b/2)² = (4/2)² = 2² = 4

x² + 4x + 4 = -1 + 4

(x + 2)² = 3

Paso 4 Toma la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación:

x + 2 = ±√3 = ±1.73 (a 2 decimales)

Paso 5 Resta 2 de ambos lados:

x = ±1.73 – 2 = -3.73 o -0.27

Y aquí hay algo interesante y útil.

Al final del paso 3 teníamos la ecuación:

(x + 2)² = 3

Nos da el vértice (punto de giro) de x² + 4x + 1: (-2, -3)

Ejemplo 2: Resuelve 5x² – 4x – 2 = 0

Paso 1 Divide todos los términos entre 5

x² – 0.8x – 0.4 = 0

Paso 2 Mueve el término numérico al lado derecho de la ecuación:

x² – 0.8x = 0.4

Paso 3 Completa el cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación y equilíbralo sumando el mismo número al lado derecho de la ecuación:

(b/2)² = (0.8/2)² = 0.4² = 0.16

x² – 0.8x + 0.16 = 0.4 + 0.16

(x – 0.4)² = 0.56

Paso 4 Toma la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación:

x – 0.4 = ±√0.56 = ±0.748 (a 3 decimales)

Paso 5 Resta (-0.4) de ambos lados (en otras palabras, suma 0.4):

x = ±0.748 + 0.4 = -0.348 o 1.148

¿Por qué "completar el cuadrado"?

¿Por qué completar el cuadrado cuando podemos simplemente usar la fórmula cuadrática para resolver una ecuación cuadrática?

Bueno, una de las razones se dio arriba, donde la nueva forma no solo nos muestra el vértice, sino que facilita resolverla.

También hay ocasiones en que la forma ax² + bx + c puede ser parte de una pregunta más grande y reorganizarla como a(x+d)² + e hace que la solución sea más fácil, porque x solo aparece una vez.

Por ejemplo, "x" puede ser en sí misma una función (como cos(z)) y reorganizarla puede abrir el camino hacia una mejor solución.

Además, completar el cuadrado es el primer paso en la derivación de la fórmula cuadrática

Simplemente piénsalo como otra herramienta en tu caja de herramientas matemáticas.

364, 1205, 365, 2331, 2332, 3213, 3896, 3211, 3212, 1206

Nota: Valores de "d" y "e"

¿Cómo obtuve los valores de d y e de la parte superior de la página?

Empieza con	$ecuación$
Divide la ecuación por a	$ecuación$
Pon c/a del otro lado	$ecuación$
Suma (b/2a)² a ambos lados

"Completa el cuadrado"
Ahora trae todo de vuelta...
... al lado izquierdo	$ecuación$
... al múltiplo original a de x²	$ecuación$