Ecuaciones Cuadráticas
Un ejemplo de una Ecuación Cuadrática:
La función puede hacer curvas bonitas como esta:
Nombre
El nombre Cuadrática viene de "cuad" que significa cuadrado, porque la variable se eleva al cuadrado, como x2.
También se le llama "Ecuación de Grado 2" (debido al "2" en x2)
Forma Estándar
La Forma Estándar de una Ecuación Cuadrática se ve así:
- a, b y c son valores conocidos
- ¡a no puede ser 0 o no sería cuadrática!
- x es la variable o incógnita (todavía no la conocemos)
Aquí tienes algunos ejemplos:
Ejemplo: 2x2 + 5x + 3 = 0
En este a = 2, b = 5 y c = 3
Ejemplo: x2 − 3x = 0
Este es un poco más complicado:
- ¿Dónde está a? Bueno, a = 1, ya que normalmente no escribimos "1x2"
- b = −3
- ¿Y dónde está c? Bueno, c = 0, así que no se muestra
Por lo tanto a = 1, b = −3 y c = 0
Ejemplo: 5x − 3 = 0
¡Ups! Este no es una ecuación cuadrática: le falta x2
En otras palabras, a = 0, lo que significa que no es cuadrática.
¡Pruébalo tú mismo!
Juega con el Explorador de Ecuaciones Cuadráticas para que puedas ver:
- la gráfica de la función, y
- las soluciones (llamadas "raíces")
¡Ecuaciones Cuadráticas Ocultas!
Como vimos antes, la Forma Estándar de una Ecuación Cuadrática es
¡Pero a veces una ecuación cuadrática no se ve así!
Por ejemplo:
| Disfrazada |  |
En Forma Estándar | a, b y c |
|---|---|---|---|
| x2 = 3x − 1 | Mueve todos los términos al lado izquierdo | x2 − 3x + 1 = 0 | a=1, b=−3, c=1 |
| 2(w2 − 2w) = 5 | Desarrolla (quita los paréntesis), y mueve el 5 a la izquierda |
2w2 − 4w − 5 = 0 | a=2, b=−4, c=−5 |
| z(z−1) = 3 | Desarrolla y mueve el 3 a la izquierda | z2 − z − 3 = 0 | a=1, b=−1, c=−3 |
¿Cómo resolverlas?
Las "soluciones" de la Ecuación Cuadrática son donde es igual a cero.
También se les llama "raíces", o a veces "ceros"
Normalmente hay 2 soluciones (como se muestra en esta gráfica).
Y hay varias formas diferentes de encontrar las soluciones:
Solo introduce los valores de a, b y c, y haz los cálculos.
Veremos este método con más detalle ahora.
Acerca de la Fórmula Cuadrática
Primero que nada, ¿qué es esa cosa de más/menos que se ve como ± ?
El signo ± significa que hay DOS respuestas:
x = −b + √(b2 − 4ac)2a
x = −b − √(b2 − 4ac)2a
Aquí hay un ejemplo con dos respuestas:
Pero imagina que la curva solo toca el eje x, obtenemos solo una solución real:
¡O imagina que la curva está tan arriba que ni siquiera cruza el eje x!
Aquí es donde el discriminante nos ayuda...
Discriminante
¿Ves b2 − 4ac en la fórmula de arriba? Se llama discriminante, porque puede "discriminar" entre los posibles tipos de respuesta:
¿Soluciones complejas? Hablemos de ellas después de ver cómo usar la fórmula.
Uso de la Fórmula Cuadrática
Solo introduce los valores de a, b y c en la Fórmula Cuadrática y haz los cálculos.
Ejemplo: Resuelve 5x2 + 6x + 1 = 0
Y las vemos en esta gráfica.
Respuesta: x = −0.2 o x = −1
Comprobemos las respuestas:
= 5×(0.04) + 6×(−0.2) + 1
= 0.2 − 1.2 + 1
= 0
= 5×(1) + 6×(−1) + 1
= 5 − 6 + 1
= 0
Cómo Recordar la Fórmula
Un amable lector sugirió cantarla con la melodía de "Pop Goes the Weasel":
The monkey chased the weasel
The monkey thought 'twas all in fun
Pop! goes the weasel ♫
plus or minus the square root
of b-squared minus four a c
ALL over two a ♫
¡Intenta cantarla unas cuantas veces y se te quedará grabada en la cabeza!
O puedes recordar esta historia:
x = −b ± √(b2 − 4ac)2a
"Un chico negativo estaba indeciso (más o menos) sobre ir a una fiesta,
en la fiesta habló con un chico cuadrado pero no con las 4 chicas asombrosas.
Todo se acabó a las 2 a.m."
¿Soluciones Complejas?
Cuando el discriminante (el valor b2 − 4ac) es negativo obtenemos un par de soluciones Complejas... ¿qué significa eso?
Significa que nuestra respuesta incluirá Números Imaginarios. ¡Guau!
Ejemplo: Resuelve 5x2 + 2x + 1 = 0
= −16
√(−16) = 4i (i es el número imaginario √−1)
Respuesta: x = −0.2 ± 0.4i
La gráfica no cruza el eje x. Por eso terminamos con números complejos.
En cierto modo es más fácil: no necesitamos más cálculos, simplemente lo dejamos como −0.2 ± 0.4i.
Ejemplo: Resuelve x2 − 4x + 6.25 = 0
= −9
√(−9) = 3i
(donde i es el número imaginario √−1)
Respuesta: x = 2 ± 1.5i
La gráfica no cruza el eje x, así que terminamos con números complejos.
PERO una imagen especular invertida de nuestra ecuación sí cruza el eje x en 2 ± 1.5 (nota: sin la i).
¡Solo un dato interesante para ti!
Resumen
- Ecuación cuadrática en forma estándar: ax2 + bx + c = 0
- Las ecuaciones cuadráticas se pueden factorizar
- Fórmula cuadrática: x = −b ± √(b2 − 4ac)2a
- Cuando el discriminante (b2−4ac) es:
- positivo, hay 2 soluciones reales
- cero, hay 1 solución real
- negativo, hay 2 soluciones complejas