Graficando ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática en forma estándar:

(a, b y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0).

Aquí hay un ejemplo:

Ecuación cuadrática 2x^2 + 5x - 3 con los coeficientes a, b y c etiquetados

Graficar

Puedes graficar una ecuación cuadrática usando el graficador de funciones, pero para comprender realmente lo que está sucediendo, puedes hacer la gráfica tú mismo. ¡Sigue leyendo!

La cuadrática más simple

La ecuación cuadrática más simple es:

f(x) = x²

Y su gráfica también es simple:

Gráfica de parábola en forma de U de la función f(x) = x^2

Esta es la curva f(x) = x²
Es una parábola

Antena parabólica por satélite enfocando las señales entrantes hacia un punto central

Ejemplo: Forma de antena parabólica

Muchas antenas parabólicas tienen forma de parábola, lo que ayuda a enfocar las señales hacia el receptor.

Pero necesitaremos usar f(x) = ax²

Veamos qué sucede cuando añadimos el valor "a":

f(x) = ax²

Comparación de varias parábolas mostrando cómo el valor de 'a' cambia el ancho y la dirección

Los valores más grandes de a comprimen la curva hacia adentro
Los valores más pequeños de a la ensanchan hacia afuera
Y los valores negativos de a la voltean hacia abajo

Juega con ella

Ahora es un buen momento para jugar con el Explorador de ecuaciones cuadráticas para que puedas ver lo que hacen diferentes valores de a, b y c.

La cuadrática "general"

Antes de graficar reorganizamos la ecuación, a partir de esto:

f(x) = ax² + bx + c

A esto:

f(x) = a(x-h)² + k

Donde:

h = −b/2a
k = f( h )

En otras palabras, calcula h (= −b/2a), y luego halla k calculando toda la ecuación para x=h

¿Pero por qué?

Parábola con el punto vértice y el eje vertical de simetría resaltados

Lo maravilloso de esta nueva forma es que h y k nos muestran el punto más bajo (o más alto), llamado vértice:

Y también la curva es simétrica (imagen espejo) respecto al eje que pasa por x=h, lo que facilita su representación gráfica.

Así que ...

h nos muestra qué tan a la izquierda (o derecha) se ha desplazado la curva desde x=0
k nos muestra qué tan arriba (o abajo) se ha desplazado la curva desde y=0

En la forma a(x−h)² + k, el desplazamiento horizontal es +h

para (x−3)² la h es +3 (un desplazamiento a la derecha)
para (x+3)² la h es −3 (un desplazamiento a la izquierda)

Veamos un ejemplo de cómo hacer esto:

Ejemplo: Graficar f(x) = 2x² − 12x + 16

Primero, anotemos:

a = 2,
b = −12, y
c = 16

Ahora, ¿qué sabemos?

a es positivo, por lo que es una gráfica "hacia arriba" (en forma de "U")
a es 2, por lo que está un poco "comprimida" en comparación con la gráfica de x²

A continuación, calculemos h:

h = −b/2a = −(−12)/(2x2) = 3

Y luego podemos calcular k (usando h=3):

k = f(3) = 2(3)² − 12·3 + 16 = 18−36+16 = −2

Así que ahora podemos trazar la gráfica (¡con comprensión real!):

Representación paso a paso de la parábola para 2x^2 - 12x + 16

También sabemos: el vértice es (3,−2), y el eje es x=3

De una gráfica a la ecuación

¿Qué pasa si tenemos una gráfica y queremos encontrar una ecuación?

Ejemplo: acabas de graficar algunos datos interesantes y parece una cuadrática:

Plano de coordenadas con puntos en (0, 1.5) y (1, 1) que sugieren una curva cuadrática

Con solo conocer esos dos puntos podemos obtener una ecuación.

Primero, sabemos h y k (en el vértice):

(h, k) = (1, 1)

Así que pongamos eso en esta forma de la ecuación:

f(x) = a(x-h)² + k

f(x) = a(x−1)² + 1

Luego calculamos "a":

Sabemos el punto (0, 1.5) así que:f(0) = 1.5 Y a(x−1)² + 1 en x=0 es:f(0) = a(0−1)² + 1 Ambos son f(0) así que los igualamos: a(0−1)² + 1 = 1.5 Simplificamos:a + 1 = 1.5 a = 0.5

Y aquí está la ecuación cuadrática resultante:

f(x) = 0.5(x−1)² + 1

Nota: Puede que esta no sea la ecuación correcta para los datos, pero es un buen modelo y lo mejor que podemos encontrar.

Algunos consejos:

Traza el eje de simetría (por el centro) para asegurarte de que la gráfica sea simétrica
Comprueba la dirección de la parábola (hacia arriba o hacia abajo) usando el signo de a
Traza algunos puntos adicionales para asegurarte de que la curva sea correcta

567,7335,7336,7337,7338,1207,2443,2444,2445,2447