Ejemplos en el mundo real de
Ecuaciones cuadráticas

Una Ecuación cuadrática se ve así:

Ecuación cuadrática

¡Las ecuaciones cuadráticas aparecen en muchas situaciones del mundo real!

Aquí hemos recopilado algunos ejemplos para ti, y resolvemos cada uno usando diferentes métodos:

Cada ejemplo sigue tres etapas generales:

lanzamiento de pelota

Pelotas, flechas, misiles y piedras

Cuando lanzas una pelota (o disparas una flecha, lanzas un misil o tiras una piedra), sube por el aire perdiendo rapidez a medida que viaja, y luego desciende cada vez más rápido ...

... ¡y una Ecuación cuadrática te dice su posición en todo momento!

Ejemplo: Lanzar una pelota

Una pelota se lanza directamente hacia arriba, desde 3 m sobre el suelo, con una velocidad de 14 m/s. ¿Cuándo toca el suelo?

Ignorando la resistencia del aire, podemos calcular su altura sumando estas tres cosas:
(Nota: t es el tiempo en segundos)

La altura comienza a 3 m:
3
Viaja hacia arriba a 14 metros por segundo (14 m/s):
14t
La gravedad tira de ella hacia abajo, cambiando su
posición aproximadamente 5 m por segundo al cuadrado:
−5t2

(Nota para los entusiastas: el término -5t2 es una simplificación de -(½)at2 con a=9.8 m/s2)

Súmalos y la altura h en cualquier momento t es:

h = 3 + 14t − 5t2

Y la pelota tocará el suelo cuando la altura sea cero:

3 + 14t − 5t2 = 0

¡La cual es una Ecuación cuadrática!

En "Forma estándar" se ve así:

−5t2 + 14t + 3 = 0

Se ve aún mejor cuando multiplicamos todos los términos por −1:

5t2 − 14t − 3 = 0

Vamos a resolverla ...

Hay muchas maneras de resolverla, aquí la factorizaremos usando el método "Encuentra dos números que multiplicados den ac y sumados den b" de Factorizando cuadráticas:

ac = −15, y b = −14.

Los factores de −15 son: −15, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 15

Probando algunas combinaciones encontramos que −15 y 1 funcionan (−15×1 = −15, y −15+1 = −14)

Reescribe el término del medio con −15 y 1:
5t2 − 15t + t − 3 = 0
Factoriza los dos primeros y los dos últimos:
5t(t − 3) + 1(t − 3) = 0
El factor común es (t − 3):
(5t + 1)(t − 3) = 0
Y las dos soluciones son:
5t + 1 = 0 o t − 3 = 0
Que son:
t = −0.2  o  t = 3

"t = −0.2" es un tiempo negativo, imposible en nuestro caso.

"t = 3" es la respuesta que queremos:

¡La pelota toca el suelo después de 3 segundos!

gráfica cuadrática de la pelota

Aquí está la gráfica de la Parábola h = −5t2 + 14t + 3

Muestra la altura de la pelota frente al tiempo

Algunos puntos interesantes:

(0,3) Cuando t=0 (al inicio) la pelota está a 3 m

(−0.2,0) dice que −0.2 segundos ANTES de lanzar la pelota estaba a nivel del suelo. ¡Esto nunca sucedió! Así que nuestro sentido común dice que lo ignoremos.

(3,0) dice que a los 3 segundos la pelota está a nivel del suelo.

Observa también que la pelota alcanza casi 13 metros de altura.

Nota: ¡Puedes encontrar exactamente dónde está el punto más alto!

El método se explica en Graficar ecuaciones cuadráticas, y tiene dos pasos:

Encuentra dónde (a lo largo del eje horizontal) se produce el punto superior usando −b/2a:

  • t = −b/2a = −(−14)/(2 × 5) = 14/10 = 1.4 segundos

Luego encuentra la altura usando ese valor (1.4)

  • h = −5t2 + 14t + 3 = −5(1.4)2 + 14 × 1.4 + 3 = 12.8 metros

Por lo tanto, la pelota alcanza el punto más alto de 12.8 metros después de 1.4 segundos.

Ejemplo: Nueva bicicleta deportiva

bicicleta

¡Has diseñado un nuevo estilo de bicicleta deportiva!

Ahora quieres fabricar muchas de ellas y venderlas para obtener una ganancia.

Tus costos van a ser:

curva de demanda de bicicletas

Basándote en bicicletas similares, puedes esperar que las ventas sigan esta "Curva de Demanda":

Ventas en unidades = 70,000 − 200P

Donde "P" es el precio.

Por ejemplo, si fijas el precio:

Entonces ... ¿cuál es el mejor precio? ¿Y cuántas deberías fabricar?

¡Hagamos algunas ecuaciones!

La cantidad que vendas depende del precio, así que usa "P" para el precio como variable

Ventas en unidades
= 70,000 − 200P
Ventas en dólares Unidades × Precio
= (70,000 − 200P) × P
= 70,000P − 200P2
Costos
= 700,000 + 110 x (70,000 − 200P)
= 700,000 + 7,700,000 − 22,000P
= 8,400,000 − 22,000P
Ganancia Ventas − Costos
= 70,000P − 200P2 − (8,400,000 − 22,000P)
= −200P2 + 92,000P − 8,400,000

Ganancia = −200P2 + 92,000P − 8,400,000

Sí, una ecuación cuadrática. Vamos a resolver esta Completando el cuadrado.

Resolver: −200P2 + 92,000P − 8,400,000 = 0

Paso 1 Divide todos los términos por -200

P2 – 460P + 42000 = 0

Paso 2 Mueve el término numérico al lado derecho de la ecuación:

P2 – 460P = -42000

Paso 3 Completa el cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación y equilíbralo sumando el mismo número al lado derecho de la ecuación:

(b/2)2 = (−460/2)2 = (−230)2 = 52900

P2 – 460P + 52900 = −42000 + 52900
(P – 230)2 = 10900

Paso 4 Toma la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación:

P – 230 = ±√10900 = ±104 (al número entero más cercano)

Paso 5 Resta (-230) de ambos lados (en otras palabras, suma 230):

P = 230 ± 104 = 126 o 334

¿Qué nos dice eso? Dice que la ganancia es CERO cuando el precio es $126 o $334

Pero queremos saber la ganancia máxima, ¿no?

¡Está exactamente a mitad de camino! A $230

Y aquí está la gráfica:

gráfica de ganancia óptima de bicicletas
Ganancia = −200P2 + 92,000P − 8,400,000

El mejor precio de venta es $230, y puedes esperar:

Un emprendimiento muy rentable.

Ejemplo: Marco de acero pequeño

área=28

Tu empresa va a fabricar marcos como parte de un nuevo producto que están lanzando.

El marco se cortará de una pieza de acero y, para mantener bajo el peso, el área final debe ser de 28 cm2

El interior del marco tiene que ser de 11 cm por 6 cm

¿Cuál debería ser el ancho x del metal?

Área de acero antes de cortar:

Área = (11 + 2x) × (6 + 2x) cm2
Área = 66 + 22x + 12x + 4x2
Área = 4x2 + 34x + 66

Área de acero después de cortar el centro de 11 × 6:

Área = 4x2 + 34x + 66 − 66
Área = 4x2 + 34x

cuadrática 4x^2 + 34x

¡Vamos a resolver este gráficamente!

Aquí está la gráfica de 4x2 + 34x :

El área deseada de 28 se muestra como una línea horizontal.

El área es igual a 28 cm2 cuando:

x es aproximadamente −9.3 o 0.8

El valor negativo de x no tiene sentido, por lo que la respuesta es:

x = 0.8 cm (aprox.)

Ejemplo: Crucero por el río

Un crucero por el río de 3 horas recorre 15 km río arriba y luego regresa. El río tiene una corriente de 2 km por hora. ¿Cuál es la rapidez del barco y cuánto duró el viaje río arriba?

dibujo de río

Hay dos rapideces que considerar: la rapidez del barco en el agua y la rapidez relativa a la tierra:

Porque el río fluye río abajo a 2 km/h:

Podemos convertir esas rapideces en tiempos usando:

tiempo = distancia / rapidez

(recorrer 8 km a 4 km/h toma 8/4 = 2 horas, ¿verdad?)

Y sabemos que el tiempo total es de 3 horas:

tiempo total = tiempo río arriba + tiempo río abajo = 3 horas

Pon todo eso junto:

tiempo total = 15/(x−2) + 15/(x+2) = 3 horas

Ahora usamos nuestras habilidades de álgebra para resolver para "x".

Primero, deshazte de las fracciones multiplicando por (x-2)(x+2):

3(x-2)(x+2) = 15(x+2) + 15(x-2)

Desarrolla todo:

3(x2−4) = 15x+30 + 15x−30

Lleva todo a la izquierda y simplifica:

3x2 − 30x − 12 = 0

¡Es una Ecuación cuadrática!

Vamos a resolverla usando la Fórmula cuadrática:

Fórmula cuadrática: x = [ -b (+-) sqrt(b^2 - 4ac) ] / 2a

Donde a, b y c provienen de la Ecuación cuadrática
en "Forma estándar": ax2 + bx + c = 0

Resolver 3x2 - 30x - 12 = 0

Los coeficientes son:
a = 3, b = −30 y c = −12
Fórmula cuadrática:
x = [ −b ± √(b2−4ac) ] / 2a
Sustituye a, b y c:
x = [ −(−30) ± √((−30)2−4×3×(−12)) ] / (2×3)
Resuelve:
x = [ 30 ± √(900+144) ] / 6
x = [ 30 ± √(1044) ] / 6
x = ( 30 ± 32.31 ) / 6
x = −0.39 o 10.39

Respuesta: x = −0.39 o 10.39 (a 2 decimales)

x = −0.39 no tiene sentido para esta pregunta del mundo real, ¡pero x = 10.39 es simplemente perfecta!

Respuesta: Rapidez del barco = 10.39 km/h (a 2 decimales)

Y así, el viaje río arriba = 15 / (10.39−2) = 1.79 horas = 1 hora 47min

Y el viaje río abajo = 15 / (10.39+2) = 1.21 horas = 1 hora 13min

Ejemplo: Resistencias en paralelo

Dos resistencias están en paralelo, como en este diagrama:

resistencias cuadráticas R1 y R1+3

La resistencia total se ha medido en 2 Ohms, y se sabe que una de las resistencias tiene 3 ohms más que la otra.

¿Cuáles son los valores de las dos resistencias?

La fórmula para calcular la resistencia total "RT" es:

1RT = 1R1 + 1R2

En este caso, tenemos RT = 2 y R2 = R1 + 3

12 = 1R1 + 1R1+3

Para deshacernos de las fracciones podemos multiplicar todos los términos por 2R1(R1 + 3) y luego simplificar:

Multiplica todos los términos por 2R1(R1 + 3):2R1(R1+3)2 = 2R1(R1+3)R1 + 2R1(R1+3)R1+3 Luego simplifica:R1(R1 + 3) = 2(R1 + 3) + 2R1 Desarrolla: R12 + 3R1 = 2R1 + 6 + 2R1 Lleva todos los términos a la izquierda:R12 + 3R1 − 2R1 − 6 − 2R1 = 0 Simplifica:R12 − R1 − 6 = 0

¡Sí! ¡Una Ecuación cuadrática!

Vamos a resolverla usando nuestro Solucionador de ecuaciones cuadráticas.

R1 no puede ser negativo, por lo que R1 = 3 Ohms es la respuesta.

Las dos resistencias son de 3 ohms y 6 ohms.

Otros

Las ecuaciones cuadráticas son útiles en muchas otras áreas:

antena parabólica

Para un espejo parabólico, un telescopio reflector o una antena parabólica, la forma está definida por una ecuación cuadrática.

Las ecuaciones cuadráticas también son necesarias cuando se estudian lentes y espejos curvos.

Y muchas preguntas que involucran tiempo, distancia y rapidez necesitan ecuaciones cuadráticas.

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