Grado (de una expresión)
"Grado" puede significar varias cosas en matemáticas:
- una unidad para medir ángulos
- una unidad para medir temperatura
- pero aquí vemos qué significa grado en álgebra
Grado de un polinomio (con una variable)
Un polinomio tiene esta forma:
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| ejemplo de un polinomio este tiene 3 términos |
Más ejemplos:
| 4x | El grado es 1 (una variable sin un exponente en realidad tiene un exponente de 1) |
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| 4x3 − x + 3 | El grado es 3 (el mayor exponente de x) | |
| x2 + 2x5 − x | El grado es 5 (el mayor exponente de x) | |
| (x3)2 + 14x5 | El grado es 6, ya que (x3)2 = x6 | |
| z2 − z + 3 | El grado es 2 (el mayor exponente de z) |
Nombres de grados
Cuando conocemos el grado, ¡también podemos darle un nombre!
| Grado | Nombre | Ejemplo |
|---|---|---|
| 0 | Constante | 7 |
| 1 | Lineal | x+3 |
| 2 | Cuadrático | x2−x+2 |
| 3 | Cúbico | x3−x2+5 |
| 4 | Cuártico | 6x4−x3+x−2 |
| 5 | Quíntico | x5−3x3+x2+8 |
Ejemplo: y = 2x + 7 tiene un grado de 1, por lo que es una ecuación lineal
Ejemplo: 5w2 − 3 tiene un grado de 2, por lo que es cuadrática
Las ecuaciones de orden superior suelen ser más difíciles de resolver:
- Las ecuaciones lineales son fáciles de resolver
- Las ecuaciones cuadráticas son un poco más difíciles de resolver
- Las ecuaciones cúbicas son todavía más difíciles, pero hay fórmulas para ayudar
- Las ecuaciones cuárticas también se pueden resolver, pero las fórmulas son muy complicadas
- Las ecuaciones quínticas no tienen fórmulas, ¡y a veces pueden no tener solución!
Grado de un polinomio con más de una variable
Cuando un polinomio tiene más de una variable, debemos mirar cada término. Los términos se separan con signos + o −:
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| ejemplo de un polinomio con más de una variable |
Para cada término:
- Calcula el grado sumando los exponentes de cada variable que contenga,
El mayor de esos grados es el grado del polinomio.
Ejemplo: ¿cuál es el grado de este polinomio?
Revisando cada término:
- 5xy2 tiene un grado de 3 (x tiene un exponente de 1, y tiene 2, y 1+2=3)
- 3x tiene un grado de 1 (x tiene un exponente de 1)
- 5y3 tiene un grado de 3 (y tiene un exponente de 3)
- 3 tiene un grado de 0 (no hay variables)
El mayor grado de ellos es 3 (de hecho, dos términos tienen un grado de 3), por lo que el polinomio tiene un grado de 3
Ejemplo: ¿cuál es el grado de este polinomio?
4z3 + 5y2z2 + 2yz
Revisando cada término:
- 4z3 tiene un grado de 3 (z tiene un exponente de 3)
- 5y2z2 tiene un grado de 4 (y tiene un exponente de 2, z tiene 2, y 2+2=4)
- 2yz tiene un grado de 2 (y tiene un exponente de 1, z tiene 1, y 1+1=2)
El mayor grado de ellos es 4, por lo que el polinomio tiene un grado de 4
Cómo se escribe
En lugar de decir "el grado de (lo que sea) es 3", lo escribimos así:
Cuando la expresión es una fracción
Podemos calcular el grado de una expresión racional (una que tiene la forma de una fracción) tomando el grado de arriba (numerador) y restando el grado de abajo (denominador).
Aquí hay tres ejemplos:
Calcular otros tipos de expresiones
Aviso: ¡Ideas avanzadas a continuación!
A veces podemos calcular el grado de una expresión dividiendo...
- el logaritmo de la función entre
- el logaritmo de la variable
... y luego hacer eso para valores cada vez más grandes, para ver hacia dónde "se dirige" la respuesta.
Pero hacer una tabla de valores muestra muy bien lo que está sucediendo, como en este ejemplo:
Ejemplo: el grado de 3 + √x
Probemos con valores crecientes de x:
| x | ln(3 + √x) | ln(x) | ln(3 + √x)ln(x) |
|---|---|---|---|
| 2 | 1.48483 | 0.69315 | 2.1422 |
| 4 | 1.60944 | 1.38629 | 1.1610 |
| 10 | 1.81845 | 2.30259 | 0.7897 |
| 100 | 2.56495 | 4.60517 | 0.5570 |
| 1,000 | 3.54451 | 6.90776 | 0.5131 |
| 10,000 | 4.63473 | 9.21034 | 0.5032 |
| 100,000 | 5.76590 | 11.51293 | 0.5008 |
| 1,000,000 | 6.91075 | 13.81551 | 0.5002 |
Mirando la tabla:
- a medida que x se hace más grande, ln(3 + √x)ln(x) se acerca cada vez más a 0.5
Así que el grado parece ser 0.5 (en otras palabras, 1/2)
(Nota: esto coincide muy bien con x½ = raíz cuadrada de x, ver Exponentes fraccionarios)
Algunos valores de grados
| Expresión | Grado |
|---|---|
| log(x) | 0 |
| ex | ∞ |
| 1/x | −1 |
| √x | 1/2 |
Nota: en álgebra, al "grado" a veces también se le llama "orden".