Ecuaciones lineales
Una ecuación lineal es una ecuación para una línea recta
Estas son todas las ecuaciones lineales:
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y = 2x + 1 | |
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5x = 6 + 3y | |
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y/2 = 3 − x |
Imagina alquilar una bicicleta donde cuesta $1 para empezar, más $2 por cada hora que pedaleamos.
Si pedaleamos durante x horas, el costo total y es:
y = 2x + 1
¡Esta es una relación lineal, y podemos graficarla!
Así:
Ejemplo: y = 2x + 1 es una ecuación lineal:
La gráfica de y = 2x+1 es una línea recta
- Cuando x aumenta, y aumenta el doble de rápido, por lo que necesitamos 2x
- Cuando x es 0, y ya es 1. Así que también se necesita +1
- Y por lo tanto: y = 2x + 1
Aquí hay algunos valores de ejemplo:
| x | y = 2x + 1 |
|---|---|
| -1 | y = 2 × (-1) + 1 = -1 |
| 0 | y = 2 × 0 + 1 = 1 |
| 1 | y = 2 × 1 + 1 = 3 |
| 2 | y = 2 × 2 + 1 = 5 |
¡Comprueba tú mismo que esos puntos son parte de la línea de arriba!
Formas diferentes
Hay muchas formas de escribir ecuaciones lineales, pero la idea clave es:
- Las variables solo están elevadas a la primera potencia (x, y, y así sucesivamente),
- Las variables no se multiplican entre sí (nada de xy),
- No hay variables en denominadores (nada de 1x y así sucesivamente)
Ejemplos: estas son ecuaciones lineales:
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y = 3x − 6 | |
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y − 2 = 3(x + 1) | |
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y + 2x − 2 = 0 | |
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5x = 6 | |
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y/2 = 3 |
¡Las ecuaciones como x = 3 (una línea vertical) o y = 4 (una línea horizontal) también son ecuaciones lineales! Siguen dibujando líneas perfectamente rectas en una gráfica.
Pero las variables (como "x" o "y") en ecuaciones lineales NO tienen:
- Exponentes (como el 2 en x2)
- Raíces cuadradas, raíces cúbicas, y así sucesivamente
Ejemplos: estas NO son ecuaciones lineales:
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y2 − 2 = 0 | |
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3√x − y = 6 | |
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x3/2 = 16 | |
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xy = 1 |
Forma pendiente-ordenada
La forma más común es la ecuación de la línea recta pendiente-ordenada:
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| Pendiente (o Gradiente) | Ordenada al origen |
Ejemplo: y = 2x + 1
- Pendiente: m = 2
- Ordenada: b = 1
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¡Juega con ella!Puedes ver el efecto de diferentes valores de m y b en Explora la gráfica de una línea recta |
Forma punto-pendiente
Otra muy común es la Forma punto-pendiente de la ecuación de una línea recta:
y − y1 = m(x − x1)
Ejemplo: y − 3 = (¼)(x − 2)
Está en la forma y − y1 = m(x − x1) donde:
- y1 = 3
- m = ¼
- x1 = 2
Forma general
Y también está la Forma general de la ecuación de una línea recta:
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Ax + By + C = 0 |
| (A y B no pueden ser ambos 0) |
Ejemplo: 3x + 2y − 4 = 0
Está en la forma Ax + By + C = 0 donde:
- A = 3
- B = 2
- C = −4
Hay otras formas menos comunes también.
Como función
A veces una ecuación lineal se escribe como una función, con f(x) en lugar de y:
| y = 2x − 3 |
| f(x) = 2x − 3 |
| ¡Son lo mismo! |
Y las funciones no siempre se escriben usando f(x):
| y = 2x − 3 |
| w(u) = 2u − 3 |
| h(z) = 2z − 3 |
| ¡También son lo mismo! |
La función identidad
Hay una función lineal especial llamada "Función identidad":
f(x) = x
Y aquí está su gráfica:
Forma un ángulo de 45° (su pendiente es 1)
Se llama "Identidad" porque lo que sale es idéntico a lo que entra:
| Entra | Sale |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 5 | 5 |
| −2 | −2 |
| ...y así sucesivamente | ...y así sucesivamente |
Funciones constantes
Otro tipo especial de función lineal es la función constante ... es una línea horizontal:
f(x) = C
No importa cuál sea el valor de "x", f(x) siempre es igual a algún valor constante.
Uso de ecuaciones lineales
Es posible que desees leer algunas de las cosas que se pueden hacer con las rectas: