Expresiones racionales
Estas expresiones son el cociente de dos polinomios:
Es como una fracción, pero con polinomios.
Otros ejemplos:
También lo son
| 12 − x2 | El polinomio de arriba es "1", lo cual está bien. |
| 2x2 + 3 | ¡Sí, lo es! Ya que también podría escribirse: 2x2 + 31 |
Pero no
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2 − √(x)4 − x | el de arriba no es un polinomio (no se permite la raíz cuadrada de una variable) |
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1 − x1 − 1/x |
1/x no está permitido en un polinomio |
En general
Una expresión racional es la razón de dos polinomios P(x) y Q(x) como esta
P(x)Q(x)
Excepto que Q(x) no puede ser cero (y en cualquier punto donde Q(x)=0, la expresión está indefinida)
Hallar las raíces de expresiones racionales
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Una raíz (o cero) es donde la expresión es igual a cero: |
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Para hallar dónde una expresión racional es igual a 0:
- Primero, halla los valores de x que hacen que el denominador sea igual a cero. Estos valores no están permitidos, ya que Q(x) no puede ser cero (la expresión está indefinida ahí)
- Luego, simplifica la expresión cancelando factores comunes, si es posible
- Después, halla los valores de x que hacen que el numerador de la expresión simplificada sea igual a cero. Cualquier solución que no esté prohibida es una raíz
Importante: Si un factor se cancela, ese valor de x no da una raíz. En su lugar, la gráfica suele tener un hueco en ese punto (veremos un ejemplo más adelante).
Factores comunes (mínima expresión)
Una fracción puede tener factores comunes (y por tanto no estar en su mínima expresión).
Ejemplo: Fracciones
26 no está en su mínima expresión,
ya que 2 y 6 tienen el factor común "2"
Pero:
13 sí está en su mínima expresión,
ya que 1 y 3 no tienen factores comunes
La misma idea se aplica a las expresiones racionales.
Ejemplo: Expresiones racionales
x3 + 3x22x no está en su mínima expresión,
ya que el numerador y el denominador tienen el factor común x
Después de cancelar el factor común x:
x2 + 3x2 sí está en su mínima expresión
Una vez simplificada la expresión, hallamos los valores de x que hacen que el numerador sea igual a cero. Cualquier solución que no esté prohibida es una raíz.
Para aprender a hallar estos valores de x, consulta Resolución de polinomios.
Ejemplo: Cancelar puede eliminar un cero
x − 1x − 1
Parece que se simplifica a 1, pero debemos recordar que el denominador no puede ser cero.
- Denominador original: x−1=0 cuando x=1, por lo que x=1 no está permitido
- Después de cancelar, la forma simplificada es 1, que nunca es 0, por lo que no hay raíces
Así que la gráfica es la recta y=1 con un hueco en x=1.
Hueco frente a asíntota
- Si un factor se cancela por completo del denominador (como x − 1x − 1), deja un hueco en la gráfica en ese punto
- Si un factor permanece en el denominador y no se puede cancelar, crea una asíntota vertical (donde la gráfica se dispara hacia el infinito)
Para la expresión x − 2x − 5:
- ¿Cuál es la raíz? x = 2 es la raíz porque hace que el numerador sea 0
- ¿Qué valor de x no está permitido? x = 5 no está permitido porque hace que el denominador sea 0
Propias vs. Impropias
| Las fracciones pueden ser propias o impropias: |
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| (No hay nada malo en que sea "impropia", es solo un tipo diferente) |
Y del mismo modo:
¡Una expresión racional también puede ser propia o impropia!
Pero, ¿qué hace que un polinomio sea más grande o más pequeño?
¡El grado!
Para un polinomio con una variable, el Grado es el mayor exponente de esa variable.
Ejemplos de grado:
| 4x | El grado es 1 (una variable sin exponente en realidad tiene un exponente de 1) |
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| 4x3 − x + 3 | El grado es 3 (el mayor exponente de x) |
Así es como se sabe si una expresión racional es propia o impropia:
Propia: el grado de arriba es menor que el grado de abajo.
| Propia: | 1x + 1 | grado(arriba) < grado(abajo) |
Otro ejemplo: xx3 − 1
Impropia: el grado de arriba es mayor o igual que el grado de abajo.
| Impropia: | x2 − 1x + 1 | grado(arriba) ≥ grado(abajo) |
Otro ejemplo: 4x3 − 35x3 + 1
Si el polinomio es impropio, podemos simplificarlo con la división larga de polinomios
Asíntotas
Las expresiones racionales pueden tener asíntotas (una línea a la que se acerca una curva a medida que se dirige hacia el infinito):
Ejemplo: (x2−3x)/(2x−2)
La gráfica de (x2−3x)/(2x−2) tiene:
- Una asíntota vertical en x = 1
- Una asíntota oblicua: y = x2 − 1
Una expresión racional puede tener:
- cualquier número de asíntotas verticales,
- solo cero o una asíntota horizontal,
- solo cero o una asíntota oblicua (inclinada)
Hallar asíntotas horizontales u oblicuas
Es bastante fácil encontrarlas ...
... pero depende del grado del polinomio de arriba frente al de abajo.
El que tenga el grado más grande crecerá más rápido.
Al igual que con las "propias" e "impropias", pero en realidad hay cuatro casos posibles, que se muestran a continuación.
(Muestro un valor de prueba de x=1000 para cada caso, solo para ver qué sucede)
Veamos cada uno de esos ejemplos por turno:
Para grado de arriba menor que el de abajo
El polinomio de abajo dominará, y hay una asíntota horizontal en cero.
Ejemplo: f(x) = (3x+1)/(4x2+1)
Cuando x es 1000:
f(1000) = 3001/4000001 = 0.00075...
Y a medida que x crece, f(x) se acerca a 0
Para grado de arriba igual al de abajo
Ninguno domina ... la asíntota se define por los términos principales de cada polinomio.
Ejemplo: f(x) = (3x+1)/(4x+1)
Cuando x es 1000:
f(1000) = 3001/4001 = 0.750...
Y a medida que x crece, f(x) se acerca a 3/4
¿Por qué 3/4? Porque "3" y "4" son los "coeficientes principales" de cada polinomio
Los términos están en orden de mayor a menor exponente
(Técnicamente el 7 es una constante, pero aquí es más fácil pensar en todos ellos como coeficientes).
El método es fácil:
Divide el coeficiente principal del polinomio de arriba entre el coeficiente principal del polinomio de abajo.
He aquí otro ejemplo:
Ejemplo: f(x) = (8x3 + 2x2 − 5x + 1)/(2x3 + 15x + 2)
Los grados son iguales (ambos tienen grado 3)
Solo fíjate en los coeficientes principales de cada polinomio:
- Arriba es 8 (de 8x3)
- Abajo es 2 (de 2x3)
Así que hay una asíntota horizontal en 8/2 = 4
Para grado de arriba exactamente 1 mayor que el de abajo
Este es un caso especial: hay una asíntota oblicua, y necesitamos hallar la ecuación de la recta.
Para calcularla, usa la división larga de polinomios: divide el de arriba entre el de abajo para hallar el cociente (ignora el residuo).
Ejemplo: f(x) = (3x2+1)/(4x+1)
El grado de arriba es 2 y el grado de abajo es 1, por lo que habrá una asíntota oblicua
Necesitamos dividir 3x2+1 entre 4x+1 usando la división larga de polinomios:
Ignorando el residuo obtenemos la solución (de la parte superior de la división):
Para grado de arriba más de 1 mayor que el de abajo
Cuando el polinomio de arriba es más de 1 grado superior al del polinomio de abajo, no hay asíntota horizontal ni oblicua.
Ejemplo: f(x) = (3x3+1)/(4x+1)
El grado de arriba es 3 y el grado de abajo es 1.
El de arriba es más de 1 grado superior al de abajo, así que no hay asíntota horizontal ni oblicua.
Hallar asíntotas verticales
Hay otro tipo de asíntota, que es causada solo por el polinomio de abajo.
Pero primero: ¡asegúrate de que la expresión racional esté en su mínima expresión!
Siempre que el polinomio de abajo simplificado sea igual a cero (cualquiera de sus raíces) obtenemos una asíntota vertical.
Lee Resolver polinomios para aprender a encontrar las raíces
De nuestro ejemplo anterior:
Ejemplo: (x2−3x)/(2x−2)
El polinomio de abajo es 2x−2, que se factoriza en:
2(x−1)
Y el factor (x−1) significa que hay una asíntota vertical en x=1 (porque 1−1=0)
Un ejemplo completo
Ejemplo: Esbozar (x−1)/(x2−9)
En primer lugar, podemos factorizar el polinomio de abajo (es la diferencia de dos cuadrados):
x−1(x+3)(x−3)
Ahora podemos ver:
Las raíces del polinomio de arriba son: +1 (aquí es donde cruza el eje x)
Las raíces del polinomio de abajo son: −3 y +3 (estas son las asíntotas verticales)
Cruza el eje y cuando x=0, así que pongamos x igual a 0:
Cruza el eje y en: 0−1(0+3)(0−3) = −1−9 = 19
También sabemos que el grado de arriba es menor que el grado de abajo, así que hay una asíntota horizontal en 0
Así que podemos esbozar toda esa información:
Y ahora podemos dibujar la curva:
