Resolviendo Polinomios
Un Polinomio tiene esta forma: |
| un ejemplo de polinomio |
Resolver
"Resolver" significa encontrar las "raíces" ...
Entre dos raíces contiguas, la
función está completamente arriba
o completamente debajo del eje x
Entonces, en una raíz real, el valor del polinomio es cero, lo que indica dónde su gráfica intersecta el eje x.
Ejemplo: −2 y 2 son raíces de la función x2 − 4
Comprobemos:
- cuando x = −2, x2 − 4 = (−2)2 − 4 = 4 − 4 = 0
- cuando x = 2, x2 − 4 = 22 − 4 = 4 − 4 = 0
¿Cómo resolvemos polinomios? ¡Eso depende del grado!
Grado
El primer paso para resolver un polinomio es encontrar
su grado.
El Grado de un polinomio con una
variable es ...
... el exponente más grande de esa variable.
Cuando conocemos el grado, también podemos darle un nombre al polinomio:
| Grado | Nombre | Ejemplo | Cómo se ve la Gráfica |
|---|---|---|---|
| 0 | Constante | 7 |  |
| 1 | Lineal | 4x+3 | |
| 2 | Cuadrática | x2−3x+2 | |
| 3 | Cúbica | 2x3−5x2 | |
| 4 | Cuártica | x4+3x−2 | ... |
| etc | ... | ... | ... |
Cómo se resuelven
Entonces, ahora sabemos el grado, ¿cómo resolvemos?
- Lee cómo resolver Polinomios Lineales (Grado 1) usando álgebra simple.
- Lee cómo resolver Polinomios Cuadráticos (Grado 2) con un poco de trabajo,
- Puede ser difícil de resolver las ecuaciones cúbicas (Grado 3) y cuárticas (Grado 4)
- Los polinomios de grado 5 o superior no tienen una fórmula simple que siempre funcione. A veces podemos factorizarlos o usar métodos numéricos para aproximar las raíces.
Si encontramos una raíz, podemos reducir el polinomio en un grado (ejemplo más adelante) y esto puede ser suficiente para resolver todo el polinomio.
Aquí hay algunas formas principales de encontrar raíces.
1. Álgebra Básica
Podemos resolver usando álgebra básica:
Ejemplo: 2x+1
2x+1 es un polinomio lineal:
La gráfica de y = 2x+1 es una línea recta
Es lineal, por lo que hay una raíz.Usa álgebra para resolver:
Una "raíz" es cuando y es cero: 2x+1 = 0
Resta 1 de ambos lados: 2x = −1
Divide ambos lados por 2: x = −12
Y esa es la solución:
x = −12
(También puedes ver esto en la gráfica)
También podemos resolver Polinomios Cuadráticos usando álgebra básica (lee esa página para obtener una explicación).
2. Por experiencia, o por conjeturas.
Siempre es una buena idea ver si podemos hacer una factorización simple:
Ejemplo: x3+2x2−x
Esto es cúbico ... pero espera ... podemos factorizar "x":
x3+2x2−x = x(x2+2x−1)
Ahora tenemos una raíz (x=0) y lo que queda es cuadrático, lo cual podemos resolver exactamente.
Ejemplo: x3−8
De nuevo, esto es cúbico ... pero también es una "diferencia de cubos":
x3−8 = x3−23
Y así podemos convertirlo en esto:
x3−8 = (x−2)(x2+2x+4)
Hay una raíz en x=2, porque:
(2−2)(22+2×2+4) = (0)(22+2×2+4)
Y luego podemos resolver la cuadrática x2+2x+4 y listo.
3. Gráficamente
Grafica el polinomio y observa dónde cruza el eje x.
 |
Podemos ingresar el polinomio en el Graficador de Funciones, y luego enfocar (hacer zoom) para encontrar dónde cruza el eje x. |
Graficar es una buena manera de encontrar respuestas aproximadas, y también podemos tener suerte y descubrir una respuesta exacta.
Precaución: ¡Antes de ir a graficar, realmente deberías saber Cómo se Comportan los Polinomios, para que encuentres todas las respuestas posibles!
Factores
Es útil saber esto: cuando un polinomio se factoriza así:
f(x) = (x−a)(x−b)(x−c)...
¡Entonces a, b, c, etc. son raíces!
Entonces, los factores lineales y las raíces están relacionados: conoce uno y podemos encontrar el otro.
(Lee El Teorema del Factor para más detalles.)
Ejemplo: f(x) = (x3+2x2)(x−3)
Vemos "(x−3)", y eso significa que 3 es una raíz (o "cero") de la función.
¿Seguro?
Bueno, pongamos "3" en lugar de x:
f(x) = (33+2·32)(3−3)
f(3) = (33+2·32)(0)
¡Sí! f(3)=0, así que el 3 es una raíz.
Errores comunes que debes evitar
- Hallar el grado: El grado es el exponente más alto de la variable, no el número de términos.
- Combinar términos semejantes: Solo combina términos que tengan la misma variable y el mismo exponente.
- Respeta los paréntesis: Multiplica cada término dentro de los paréntesis, especialmente cuando hay restas o números negativos.
Ejemplo: 3(2x − 4)
Multiplica cada término dentro de los paréntesis por 3:
3 × (2x) = 6x, y 3 × (−4) = −12, por lo tanto:
3(2x − 4) = 6x − 12
Cómo comprobarlo
¿Encontraste una raíz? ¡Compruébala!
Simplemente coloca la raíz en lugar de la "x": el polinomio debería ser igual a cero.
Ejemplo: 2x3−x2−7x+2
El polinomio es de grado 3 y podría ser difícil de resolver. Así que grafiquémoslo primero:
La curva cruza el eje x en tres puntos, y uno de ellos podría estar en 2. Podemos comprobarlo fácilmente, solo pon un "2" en lugar de la "x":
f(2) = 2(2)3−(2)2−7(2)+2
= 16 − 4 − 14 + 2
= 0
¡Sí! f(2)=0, ¡así que hemos encontrado una raíz!
¿Qué tal donde cruza cerca de −1.8?
f(−1.8) = 2(−1.8)3−(−1.8)2−7(−1.8)+2
= −11.664 − 3.24 + 12.6 + 2
= −0.304
No, no es igual a cero, por lo que −1.8 no es una raíz (¡aunque está cerca!).
Pero descubrimos una raíz, y podemos usarla para simplificar el polinomio, así:
Ejemplo (continuación): 2x3−x2−7x+2
Entonces, f(2)=0 es una raíz... eso significa que también conocemos un factor:
(x − 2) debe ser un factor de 2x3−x2−7x+2
A continuación, divide 2x3−x2−7x+2 entre (x − 2) usando la división larga de polinomios para hallar:
2x3−x2−7x+2 = (x − 2)(2x2+3x − 1)
Ahora podemos resolver 2x2+3x − 1 como una ecuación cuadrática y conoceremos todas las raíces.
Ese último ejemplo mostró lo útil que es encontrar aunque sea una sola raíz. Recuerda:
Si encontramos una raíz, podemos reducir el polinomio en un grado, y esto puede ser suficiente para resolver el polinomio completo.
¿Qué tan a la izquierda o a la derecha?
Al intentar encontrar raíces, ¿qué tan a la izquierda y a la derecha del cero debemos buscar?
Hay una forma de saberlo; hay que hacer algunos cálculos, pero es aritmética simple. Lee Límites en los ceros para ver todos los detalles.
¿Ya tenemos todas las raíces?
Hay una forma fácil de saber cuántas raíces hay. El Teorema Fundamental del Álgebra dice:
Un polinomio de grado n...
... tiene exactamente n raíces (ceros)
contando las repetidas e incluyendo números
complejos.
Entonces: número de raíces (contando repeticiones) = el grado.
Ejemplo: 2x3 + 3x − 6
El grado es 3 (porque el exponente más alto es 3), por lo tanto:
Hay 3 raíces.
Pero algunas raíces pueden ser complejas
Sí, de hecho, algunas raíces pueden ser números complejos (es decir, tienen una parte imaginaria), por lo que no aparecerán como un simple "cruce en el eje x" en una gráfica.
Pero hay un dato interesante:
¡Las raíces complejas siempre vienen en pares!
Así que obtendremos 0 raíces complejas, o 2, o 4, y así sucesivamente... nunca un número impar.
Lo cual significa que automáticamente sabemos esto:
| Grado | Raíces | Posibles combinaciones |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 Raíz real |
| 2 | 2 | 2 Raíces reales, o 2 raíces complejas |
| 3 | 3 | 3 Raíces reales, o 1 real y 2 complejas |
| 4 | 4 | 4 Raíces reales, o 2 reales y 2 complejas, o 4 complejas |
| y así sucesivamente | ¡y así sucesivamente! |
¿Raíces positivas o negativas?
También hay una forma especial de saber cuántas de las raíces son negativas o positivas llamada la Regla de los signos de Descartes, sobre la que quizás te guste leer.
Multiplicidad de una raíz
A veces, un factor aparece más de una vez. A eso lo llamamos Multiplicidad:
La multiplicidad es la frecuencia con la que una raíz determinada forma parte de la factorización.
Ejemplo: f(x) = (x−5)3(x+7)(x − 1)2
Esto podría escribirse de forma más extensa así:
f(x) = (x−5)(x−5)(x−5)(x+7)(x − 1)(x − 1)
(x−5) se usa 3 veces, por lo que la raíz "5" tiene una multiplicidad de 3; del mismo modo, (x+7) aparece una vez y (x − 1) aparece dos veces. Por lo tanto:
- La raíz +5 tiene una multiplicidad de 3
- La raíz −7 tiene una multiplicidad de 1 (una raíz "simple")
- La raíz +1 tiene una multiplicidad de 2
P: ¿Por qué es esto útil?
R: ¡Hace que la gráfica se comporte de una manera especial!
Cuando vemos un factor como (x−r)n, "n" es la multiplicidad, y:
- Una multiplicidad par solo toca el eje en "r" (y por lo demás permanece de un lado del eje x).
- Una multiplicidad impar cruza el eje en "r" (pasa de un lado del eje x al otro).
Podemos verlo en esta gráfica:
Ejemplo: f(x) = (x − 2)2(x − 4)3
(x − 2) tiene multiplicidad par, por lo que solo toca el eje en x=2.
(x − 4) tiene multiplicidad impar, por lo que cruza el eje en x=4.
Así:
Resumen
- Podemos resolver directamente polinomios de grado 1 (lineal) y 2 (cuadrático)
- Para el Grado 3 en adelante, las gráficas pueden ser útiles.
- También es útil:
- Saber qué tan a la izquierda o derecha pueden estar las raíces
- Saber cuántas raíces (lo mismo que su grado)
- Estimar cuántas pueden ser complejos, positivas o negativas.
- La multiplicidad es la frecuencia con que cierta raíz es parte de la factorización.
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
