Resolviendo Polinomios

Un Polinomio tiene esta forma:
un ejemplo de polinomio
un ejemplo de polinomio

Resolver

"Resolver" significa encontrar las "raíces" ...

... una "raíz" (o "cero") es donde la función es igual a cero:

Gráfica de una desigualdad

Entre las raíces, la función está completamente arriba
o completamente debajo del eje x

Ejemplo: −2 y 2 son raíces de la función x2 − 4

raíces (ceros) de x^2-4

Comprobemos:

 

¿Cómo resolvemos polinomios? ¡Eso depende del grado!

Grado

El primer paso para resolver un polinomio es encontrar su grado.

El Grado de un polinomio con una variable es ...

... el exponente más grande de esa variable.

polinomio grado 3

Cuando conocemos el grado, también podemos darle un nombre al polinomio:

Grado Nombre Ejemplo Cómo se ve la Gráfica
0 Constante 7 gráficas de polinomios según su grado
1 Lineal 4x+3
2 Cuadrática x2−3x+2
3 Cúbica 2x3−5x2
4 Cuártica x4+3x−2 ...
etc ... ... ...

Cómo resolver

Entonces, ahora sabemos el grado, ¿cómo resolvemos?

Entonces, ¿qué hacemos con los que no podemos resolver? ¡Intenta resolverlos pieza por pieza!

Si encontramos una raíz, podemos reducir el polinomio en un grado (ejemplo más adelante) y esto puede ser suficiente para resolver todo el polinomio.

Aquí hay algunas formas principales de encontrar raíces.

1. Álgebra Básica

Podemos resolver usando álgebra básica:

Ejemplo: 2x+1

2x+1 es un polinomio lineal:

línea en una gráfica

La gráfica de y = 2x+1 es una línea recta

Es lineal, por lo que hay una raíz.

Usa álgebra para resolver:

Una "raíz" es cuando y es cero: 2x+1 = 0

Resta 1 de ambos lados: 2x = −1

Divide ambos lados por 2: x = −1/2

Y ésa es la solución:

x = −1/2

(También puedes ver esto en la gráfica)

También podemos resolver Polinomios Cuadráticos usando álgebra básica (lee esa página para obtener una explicación).

 

2. Por experiencia, o por conjeturas.

Siempre es una buena idea ver si podemos hacer una factorización simple:

Ejemplo: x3+2x2−x

Esto es cúbico ... pero espera ... podemos factorizar "x":

x3+2x2−x = x(x2+2x−1)

Ahora tenemos una raíz (x=0) y lo que queda es cuadrático, lo cual podemos resolver exactamente.

O podemos notar un patrón familiar:

Ejemplo: x3−8

De nuevo, esto es cúbico ... pero también es una "diferencia de cubos":

x3−8 = x3−23

Y así podemos convertirlo en esto:

x3−8 = (x−2)(x2+2x+4)

Hay una raíz en x=2, porque:

(2−2)(22+2×2+4) = (0)(22+2×2+4)

Y luego podemos resolver la cuadrática x2+2x+4 y listo.

 

3. Gráficamente

Grafica el polinomio y observa dónde cruza el eje x.

Graficador de funciones   Podemos ingresar el polinomio en el Graficador de Funciones, y luego enfocar (hacer zoom) para encontrar dónde cruza el eje x.

Graficar es una buena manera de encontrar respuestas aproximadas, y también podemos tener suerte y descubrir una respuesta exacta.

Precaución: ¡Antes de ir a graficar, realmente deberías saber Cómo se Comportan los Polinomios, para que encuentres todas las respuestas posibles!

Factores

Es útil saber esto: cuando un polinomio se factoriza así:

f(x) = (x−a)(x−b)(x−c)...

¡Entonces a, b, c, etc. son raíces!

Entonces, los factores lineales y las raíces están relacionados: conoce uno y podemos encontrar el otro.

(Lee El Teorema del Factor para más detalles.)

Ejemplo: f(x) = (x3+2x2)(x−3)

Vemos "(x−3)", y eso significa que 3 es una raíz (o "cero") de la función.

¿Seguro?

Bueno, pongamos "3" en lugar de x:

f(x) = (33+2·32)(3−3)

f(3) = (33+2·32)(0)

¡Sí! f(3)=0, así que el 3 es una raíz.

Cómo comprobar

¿Encontraste una raíz? ¡Revísala!

Simplemente coloca la raíz en lugar de "x": el polinomio debe ser igual a cero.

Ejemplo: 2x3−x2−7x+2

El polinomio es de grado 3, y podría ser difícil de resolver. Así que vamos a graficarlo primero:

2x^3−x^2−7x+2

La curva cruza el eje x en tres puntos, y uno de ellos podría estar en 2. Podemos verificarlo fácilmente, simplemente coloca "2" en lugar de "x":

f(2) = 2(2)3−(2)2−7(2)+2
= 16−4−14+2
= 0

¡Sí! f(2)=0, ¡así que hemos encontrado una raíz!

 

Veamos el punto que cruza cercano a −1.8:

f(−1.8) = 2(−1.8)3−(−1.8)2−7(−1.8)+2
= −11.664−3.24+12.6+2
= −0.304

No, no es igual a cero, entonces −1.8 no será una raíz (¡pero puede estar cerca!)

Pero descubrimos una raíz, y podemos usarla para simplificar el polinomio, así:

Ejemplo (continuación): 2x3−x2−7x+2

Así que f(2)=0 es una raíz ... eso significa que también conocemos un factor:

(x−2) debe ser factor de 2x3−x2−7x+2

 

Por lo tanto, divide 2x3−x2−7x+2 entre (x−2) usando División Larga de Polinomios para encontrar que:

2x3−x2−7x+2 = (x−2)(2x2+3x−1)

 

Así que ahora podemos resolver 2x2+3x−1 como una ecuación cuadrática y conoceremos todas las raíces.

Ese último ejemplo mostró lo útil que es encontrar solo una raíz. Recuerda:

Si encontramos una raíz, podemos reducir el polinomio en un grado y esto puede ser suficiente para resolver todo el polinomio.

¿Qué tan a la izquierda o derecha?

Al tratar de encontrar raíces, ¿qué tan lejos debemos ir a la izquierda y derecha de cero?

Hay una manera de saberlo, y hay algunos cálculos que hacer, pero todo es simple aritmética. Lee Ceros en los Polinomios para los detalles.

¿Tenemos todas las raíces?

Hay una manera fácil de saber cuántas raíces hay. El Teorema Fundamental del Álgebra dice:

Un polinomio de grado n ...
... tiene n raíces (ceros)

pero es posible que necesitemos usar Números Complejos

Entonces: número de raíces = el grado de polinomio.

Ejemplo: 2x3 + 3x − 6

El grado es 3 (porque el mayor exponente es 3), y así:

Hay 3 raíces.

Pero algunas raíces pueden ser complejas

Sí, de hecho, algunas raíces pueden ser Números Complejos (i.e., tener una parte Imaginaria), por lo que no se mostrará como un simple "cruce del eje x" en una gráfica.

Pero hay un hecho interesante.:

¡Las raíces complejas siempre vienen en pares!

Pares Complejos Conjugados

Entonces, obtenemos 0 raíces complejas, ó 2 raíces complejas, ó 4, etc ... Nunca un número impar.

Lo que significa que automáticamente sabemos esto:
Grado Raíces Posibles Combinaciones
1 1 1 raíz real
2 2 2 raíces reales, o 2 raíces complejas
3 3 3 raíces reales, o 1 raíz real y 2 raíces complejas
4 4 4 raíces reales, o 2 raíces reales y 2 raíces complejas , o 4 raíces complejas
etc   ¡etc!

¿Raíces positivas o negativas?

También hay una manera especial de saber cuántas de las raíces son negativas o positivas llamada Regla de los Signos sobre la que tal vez te gustaría leer.

Multiplicidad de una raíz

A veces aparece un factor más de una vez. Llamamos a eso multiplicidad:

La multiplicidad es la frecuencia con que cierta raíz es parte de la factorización.

Ejemplo: f(x) = (x−5)3(x+7)(x−1)2

Esto podría escribirse de una manera más larga como ésta:

f(x) = (x−5)(x−5)(x−5)(x+7)(x−1)(x−1)

(x−5) se usa 3 veces, por lo que la raíz "5" tiene una multiplicidad de 3, del mismo modo (x+7) aparece una sola vez y (x−1) aparece dos veces. Entonces:

P: ¿Por qué es útil esto?
R: ¡Hace que la gráfica se comporte de una manera especial!

Cuando vemos un factor como (x-r)n, "n" es la multiplicidad.

Podemos verlo en esta gráfica:

Ejemplo: f(x) = (x−2)2(x−4)3

(x−2) tiene multiplicidad par, así que solo toca el eje en x=2

(x−4) tiene multiplicidad impar, así que cruza el eje en x=4

Así:

(x−2)^2(x−4)^3

Resumen


¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).