Teorema del Residuo y
Teorema del Factor
O: cómo evitar la división larga polinómica cuando se encuentran factores
¿Recuerdas cómo hacer la división en aritmética?
"7 dividido por 2 es igual a 3 con un residuo de 1"
Cada parte de la división tiene nombre:
(Nota: al residuo también se le llama resto)
Y puede reescribirse como una suma, así:
Polinomios
Bueno, también podemos dividir polinomios.
f(x) ÷ d(x) = q(x) con residuo r(x)
Pero es mejor escribirlo como una suma como esta:
Como en este ejemplo usando división larga de polinomios:
Ejemplo: 2x2−5x−1 dividido por x−3
- f(x) es 2x2−5x−1
- d(x) es x−3
Después de dividir obtenemos la respuesta 2x+1, pero hay un residuo igual a 2.
- q(x) es 2x+1
- r(x) es 2
En la forma f(x) = d(x) q(x) + r(x), podemos escribir la respuesta como:
2x2−5x−1 = (x−3)(2x+1) + 2
Pero necesitas saber una cosa más:
El grado de r(x) siempre es menor que el de d(x)
Digamos que dividimos por un polinomio de grado 1 (como "x−3"), el residuo tendrá grado 0 (en otras palabras, una constante, como "4").
Usaremos esa idea en el "Teorema del residuo":
Teorema del residuo
Cuando dividimos f(x) entre el polinomio simple x−c obtenemos:
f(x) = (x−c) q(x) + r(x)
x−c es de grado 1, por lo que r(x) debe tener grado 0, así que es simplemente una constante r:
f(x) = (x−c) q(x) + r
Ahora veamos qué pasa cuando x es igual a c:
Finalmente, tenemos lo siguiente:
El teorema del residuo:
Cuando dividimos un polinomio f(x) entre x−c, el resto es f(c)
Así que, para hallar el resto después de dividir por x−c, no necesitamos hacer ninguna división:
Simplemente calcula f(c)
Veámoslo en la práctica:
Ejemplo: El resto después de dividir 2x2−5x−1 entre x−3
(Nuestro ejemplo anterior)
No necesitamos dividir por (x−3)... simplemente calcula f(3):
2(3)2−5(3)−1 = 2x9−5x3−1
= 18−15−1
= 2
Y ese es el resto que obtuvimos en nuestros cálculos anteriores.
¡No necesitamos hacer la división larga para nada!
Ejemplo: El resto después de dividir 2x2−5x−1 entre x−5
Similar a nuestro ejemplo anterior, pero esta vez dividimos entre "x−5".
"c" es 5, así que comprobemos f(5):
2(5)2−5(5)−1 = 2x25−5x5−1
= 50−25−1
= 24
El resto es 24.
Una vez más... no necesitamos hacer la división larga para encontrarlo.
El teorema del factor
Ahora...
¿Qué pasa si calculamos f(c) y el resultado es 0?
... eso significa que el resto es 0, y...
... (x−c) debe ser un factor del polinomio.
Vemos esto mismo al dividir números enteros. Por ejemplo, 60 ÷ 20 = 3 sin resto. Por lo tanto, 20 debe ser un factor de 60.
Ejemplo: x2−3x−4
f(4) = (4)2−3(4)−4 = 16−12−4 = 0
así que (x−4) debe ser un factor de x2−3x−4
Y así tenemos:
El teorema del factor:
Cuando f(c)=0, entonces x−c es un factor de f(x)
Y viceversa también:
Cuando x−c es un factor de f(x), entonces f(c)=0
¿Por qué es esto útil?
Saber que x−c es un factor es lo mismo que saber que c es una raíz (y viceversa).
El factor "x−c" y la raíz "c" son lo mismo.
Si conoces uno, conoces el otro.
Por un lado, esto significa que podemos comprobar rápidamente si (x−c) es un factor del polinomio.
Ejemplo: Hallar los factores de 2x3−x2−7x+2
El polinomio es de grado 3 y podría ser difícil de resolver. Así que grafiquémoslo primero:
La curva cruza el eje x en tres puntos, y uno de ellos podría estar en 2. Podemos comprobarlo fácilmente:
f(2) = 2(2)3−(2)2−7(2)+2
= 16−4−14+2
= 0
¡Sí! f(2)=0, así que hemos encontrado una raíz y un factor.
Por lo tanto, (x−2) debe ser un factor de 2x3−x2−7x+2
¿Qué tal donde cruza cerca de −1.8?
f(−1.8) = 2(−1.8)3−(−1.8)2−7(−1.8)+2
= −11.664−3.24+12.6+2
= −0.304
No, (x+1.8) no es un factor. Podríamos probar con otros valores cercanos y tal vez tener suerte.
Pero al menos sabemos que (x−2) es un factor.
Comprobémoslo usando la división larga de polinomios:
x−2)2x3− x2−7x+2
2x3−4x2
3x2−7x
3x2−6x
−x+2
−x+2
0
Como esperábamos, el resto es cero.
Mejor aún, nos queda la ecuación cuadrática 2x2+3x−1, que es fácil de resolver:
Sus raíces son −1.78... y 0.28..., por lo que el resultado final es:
2x3−x2−7x+2 = (x−2)(x+1.78...)(x−0.28...)
Fuimos capaces de resolver un polinomio difícil.
Resumen
El teorema del resto:
- Cuando dividimos un polinomio f(x) entre x−c, el resto es f(c).
El teorema del factor:
- Cuando f(c)=0, entonces x−c es un factor de f(x).
- Cuando x−c es un factor de f(x), entonces f(c)=0.
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
