Cómo se Comportan los Polinomios
Un polinomio tiene esta apariencia: |
| ejemplo de un polinomio |
Continuo y suave
Hay dos cosas principales sobre las gráficas de polinomios:
La gráfica de cualquier polinomio siempre es continua, que es un término especial con una definición exacta en cálculo, pero aquí usaremos esta definición simplificada:
La podemos dibujar sin levantar el lápiz del papel.
Las gráficas de polinomios también son suaves. No hay "esquinas", "picos" o "cúspides" afiladas
Ejemplo: Montaña rusa
Imagina que vas en una montaña rusa: las subidas y bajadas de la vía se pueden modelar mediante una ecuación polinómica.
Y (eso esperas) que no haya cambios bruscos.
Cómo se comportan las curvas
Grafiquemos algunos polinomios para ver qué sucede...
... y comencemos con la forma más simple:
f(x) = xn
La cual hace cosas realmente interesantes:
Los valores pares de "n" se comportan igual:
- Siempre están por encima (o igual) a 0.
- Siempre pasan por (0,0), (1,1) y (-1,1).
- Valores más grandes de n se aplanan cerca del 0 y suben de forma más pronunciada por encima del eje x.
Los valores impares de "n" se comportan igual:
- Siempre van desde x e y negativos hacia x e y positivos.
- Siempre pasan por (0,0), (1,1) y (−1,−1).
- Valores más grandes de n se aplanan cerca del 0 y caen/suben de forma más pronunciada desde el eje x.
Función potencia de grado n
A continuación, al incluir un multiplicador a, obtenemos lo que se llama una "Función Potencia":
f(x) = axn
f(x) es igual a
a veces x elevado a la "potencia"
(es decir, el exponente) n.
El valor de a la cambia de esta manera:
- Valores más grandes de a comprimen la curva (hacia el eje y).
- Valores más pequeños de a la expanden (alejándola del eje y).
- Y los valores negativos de a la invierten (hacia abajo).
| Ejemplo: f(x) = ax2 a = 2, 1, ½, −1 |
Ejemplo: f(x) = ax3 a = 2, 1, ½, −1 |
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Podemos usar ese conocimiento al dibujar algunos polinomios:
Ejemplo: Dibuja la gráfica de y=1−2x7
Comienza con la gráfica más simple de "potencia impar" de x3, y gradualmente conviértela en 1−2x7
- Sabemos la forma que tiene x3,
- x7 es similar, pero más plana cerca de cero, y más empinada en los demás lugares,
- Aplástala para obtener 2x7,
- Voltéala para obtener −2x7, y
- Elévala 1 unidad para obtener 1−2x7.
Así:
Entonces, haciendo esto paso a paso, podemos obtener un buen resultado.
Puntos críticos
Los máximos locales o mínimos locales solo pueden ocurrir en puntos críticos:
¿Cuántos puntos críticos tiene un polinomio?
Nunca más que el grado menos 1
El Grado de un polinomio de una variable es el exponente más grande de esa variable.
Ejemplo: un polinomio de Grado 4 tendrá 3 puntos críticos o menos
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| x4−2x2+x tiene 3 puntos críticos |
x4−2x tiene solo 1 punto crítico |
El máximo es 3, pero puede haber menos.
Puede que no sepamos dónde están, ¡pero al menos sabemos la cantidad máxima que puede haber!
Lo que sucede en los extremos
Y cuando nos movemos lejos de cero:
- lejos hacia la derecha (valores grandes de x), o
- lejos a la izquierda (grandes valores negativos de x)
entonces la gráfica comienza a parecerse a la gráfica de y = axn donde axn es el término con el grado más alto.
Ejemplo: f(x) = 3x3−4x2+x
Lejos a la izquierda o derecha, la gráfica se verá como 3x3
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| Cerca del 0 son diferentes |
Lejos del cero son similares |
Esto tiene sentido, porque cuando x es grande, entonces x3 es mucho mayor que x2, etc.
Esto se llama oficialmente el "Modelo de Comportamiento Extremo".
Resumen
- Las gráficas son continuas y suaves
- Los exponentes pares se comportan igual: arriba (o igual a) 0; pasan por (0,0), (1,1) y (−1,1); los valores mayores de n se aplanan cerca de 0 y crecen/decrecen más bruscamente.
- Los exponentes impares se comportan igual: pasan de x e y negativos a x e y positivos; pasan por (0,0), (1,1) y (−1, −1); los valores más grandes de n se aplanan cerca de 0 y crecen más bruscamente
- Factores:
- Los valores grandes comprimen la curva (hacia el eje-y)
- Los valores chicos la expanden (alejándose del eje-y)
- Y los valores negativos la voltean de arriba a abajo
- Puntos críticos: hay a lo mucho "Grado − 1" de ellos.
- Comportamiento en los extremos: usa el término con el exponente más grande
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
