Teoremas Sobre Triángulos Semejantes

1. Teorema de Proporcionalidad de Tales

triángulos similares ABC y ADE

Si ADE es cualquier triángulo y BC se dibuja paralela a DE, entonces ABBD = ACCE

Para demostrar que esto es cierto, dibuja la línea BF paralela a AE para completar un paralelogramo BCEF:

triángulos similares ABC y ADE: BF y EC son iguales

Los triángulos ABC y BDF tienen exactamente los mismos ángulos y, por lo tanto, son semejantes (¿Por qué? Mira la sección llamada AA en la página Cómo Saber si Dos Triángulos Son Semejantes.)

El lado AB corresponde al lado BD y el lado AC corresponde al lado BF.
Por lo tanto, AB/BD = AC/BF
Pero BF = CE
Por lo tanto, AB/BD = AC/CE

Teorema de la Bisectriz

triángulos similares ABC punto D

Si ABC es cualquier triángulo y AD biseca (corta a la mitad) el ángulo BAC, entonces ABBD = ACDC

Para demostrar que esto es cierto, podemos etiquetar el triángulo así:

triángulos ángulos similares x y x en A y ángulos y y 180-y en D

Ángulo BAD = Ángulo DAC = x°
Ángulo ADB = y°
Ángulo ADC = (180−y)°

Por la Ley de Senos en el triángulo ABD:sin(x)BD = sin(y)AB

Multiplica ambos lados por AB:sin(x)AB BD = sin(y)1

Divide ambos lados entre sin(x):ABBD = sin(y)sin(x)

Por la Ley de Senos en el triángulo ACD:sin(x)DC = sin(180−y)AC

Multiplica ambos lados por AC:sin(x)ACDC = sin(180−y)1

Divide ambos lados entre sin(x):ACDC = sin(180−y)sin(x)

Pero sin(180−y) = sin(y):ACDC = sin(y)sin(x)

Tanto ABBD como ACDC son iguales a sin(y)sin(x), por lo tanto:

ABBD = ACDC

En particular, si el triángulo ABC es isósceles, entonces los triángulos ABD y ACD son triángulos congruentes

triángulos ángulo recto similar en D

Y el mismo resultado es cierto:

ABBD = ACDC

3. Área y similitud

Si dos triángulos semejantes tienen lados en la razón x:y,

entonces sus áreas están en la proporción x²:y²

Ejemplo:

Estos dos triángulos son semejantes con lados en la proporción 2:1 (los lados de uno son el doble de largos que los del otro):

Triángulos similares grandes y pequeños

¿Qué podemos decir sobre sus áreas?

La respuesta es simple si solo dibujamos tres líneas más:

triángulos similares: el pequeño encaja dentro del grande 3 veces

Podemos ver que el triángulo pequeño encaja en el triángulo grande cuatro veces.

Por lo tanto, cuando las longitudes son el doble de largas, el área es cuatro veces más grande.

Por lo tanto, la proporción de sus áreas es 4:1

También podemos escribir 4:1 como 2²:1

El caso general:

triángulos similares ABC y PQR

Los triángulos ABC y PQR son semejantes y tienen lados en la proporción x:y

Podemos encontrar las áreas usando esta fórmula para el Área de un Triángulo:

Área de ABC = 12bc sin(A)

Área de PQR = 12qr sin(P)

Y sabemos que las longitudes de los triángulos están en la proporción x:y

q/b = y/x, luego: q = by/x

y r/c = y/x, luego r = cy/x

Además, dado que los triángulos son semejantes, los ángulos A y P son iguales:

A = P

Ahora podemos hacer algunos cálculos:

Área del Triángulo PQR:12qr sin(P)

Pon "q = by/x", "r = cy/x" y "P=A":12(by)(cy) sin(A)(x)(x)

Simplifica:12bcy² sin(A)x²

Reacomoda:y²x² × 12bc sin(A)

Lo que es:y²x² × Área del Triángulo ABC

Por lo tanto, terminamos con esta relación:

Área del Triángulo ABC : Área del Triángulo PQR = x²: y²

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).