La evolución de los números

La evolución de los números

Quiero llevarte a una aventura ...

... una aventura por el mundo de los números.

Empecemos por el principio:

P: ¿Cuál es la idea más simple de un número?

R: ¡Algo con lo que contar!

Los números para contar

Podemos usar números para contar: 1, 2, 3, 4, etc.

Los seres humanos han estado usando números para contar durante miles de años. Es algo muy natural de hacer.
y así.

Entonces tenemos:

Números para contar: {1, 2, 3, ...}

Y los "números para contar" satisficieron a la gente durante mucho tiempo.

Cero

La idea del cero, aunque ahora es natural para nosotros, no era natural para los primeros humanos ... si no hay nada que contar, ¿cómo podemos contarlo?

Ejemplo: podemos contar perros, pero no podemos contar un espacio vacío:

2 perros   no perros
Dos perros   ¿Cero perros? ¿Cero gatos?

¡Un trozo de césped vacío es solo un trozo de césped vacío!

Marcador

Pero hace unos 3,000 años la gente necesitaba diferenciar entre números como 4 y 40. ¡Sin el cero se ven iguales!

Entonces usaron un "marcador de posición", un espacio o un símbolo especial, para mostrar "aquí no hay dígitos".
5 2 Entonces, "5  2" significaba "502"

(5 centenas, nada para las decenas y 2 unidades)

Número

La idea del cero había comenzado, pero no fue hasta otros mil años más o menos que la gente empezó a pensar en él como un número real.

Pero ahora podemos pensar

"Tenía 3 naranjas, luego me comí las 3 naranjas, ¡ahora tengo cero naranjas ...!"

Números enteros no negativos

Entonces, agreguemos cero a los números de conteo para hacer un nuevo conjunto de números.

Pero necesitamos un nombre nuevo, y ese nombre es "números enteros":

Números enteros no negativos: {0, 1, 2, 3, ...}

recta números naturales

Los números naturales

También puedes escuchar el término "Números naturales" ... que puede significar:
dependiendo del tema. No hay un acuerdo general sobre si cero es "natural" o no.

Números negativos

¡Pero la historia de las matemáticas se trata de personas que hacen preguntas y buscan las respuestas!

Una de las buenas preguntas para plantear es:

"si podemos ir en una dirección, ¿podemos ir en la dirección opuesta?"

Podemos contar hacia adelante: 1, 2, 3, 4, ...

... pero ¿y si contamos al revés?

3, 2, 1, 0, ... ¿qué pasa después?

  línea de números antes del cero

La respuesta es: obtenemos números negativos:

línea de números

Ahora podemos ir hacia adelante y hacia atrás tanto como queramos

Pero, ¿cómo puede ser "negativo" un número?

Simplemente siendo menor que cero.

termómetro

Un ejemplo sencillo es la temperatura.

Definimos cero grados Centígrados (0°C) como cuando el agua se congela ... pero si la temperatura es aún más fría necesitamos temperaturas negativas para describir esto.

De modo que −20°C es 20° por debajo de cero.

 

menos una vaca

¿Vacas negativas?

¡En teoría podemos tener una vaca negativa!

Piensa en esto ... Si acabas de vender dos vacas, pero solo puedes encontrar una para entregar al nuevo propietario ... en realidad tienes menos una vaca ... ¡estás endeudado con una vaca!

Entonces existen números negativos, y vamos a necesitar un nuevo conjunto de números para incluirlos ...

Enteros

Si incluimos los números negativos con los números enteros, tenemos un nuevo conjunto de números que se llaman enteros.

Enteros: {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}

Los enteros incluyen el cero, los números de conteo y el negativo de los números de conteo, para formar una lista de números que se extienden en cualquier dirección indefinidamente.

línea de números

Fracciones

mitades de naranja

Si tienes una naranja y quieres compartirla con alguien, debes cortarla por la mitad.

¡Acabas de inventar un nuevo tipo de número!

Tomas un número (1) y lo divides por otro número (2) para obtener la mitad (1/2)

Lo mismo sucede cuando tenemos cuatro galletas (4) y queremos compartirlas entre tres personas (3) ... ellos obtienen (4/3) galletas cada una.

Un nuevo tipo de número y un nuevo nombre:

Números racionales

Cualquier número que se pueda escribir como fracción se llama número racional.

Entonces, si "p" y "q" son números enteros (recuerde que hablamos de números enteros), entonces p/q es un número racional.

Ejemplo: si p es 3 y q es 2, entonces:

p/q = 3/2 = 1.5 es un número racional

La única vez que esto no funciona es cuando q es cero, porque dividir entre cero no está definido.

Números racionales: {p/q : p y q son enteros, q no es cero}

Por lo que un medio (½) es un número racional.

Y 2 también es un número racional, porque podríamos escribirlo como 2/1

Entonces, los números racionales incluyen:

Y también cualquier número, como 13.3168980325, es racional:

13.3168980325 = 133,168,980,32510,000,000,000

Eso parece incluir todos los números posibles, ¿verdad?

Pero hay más

La gente no dejaba de hacer las preguntas ... y aquí hay una que causó mucho alboroto durante la época de Pitágoras:

raíz cuadrada de 2 Si dibujamos un cuadrado (de tamaño "1"), ¿cuál es la distancia a través de la diagonal?

La respuesta es la raíz cuadrada de 2, que es 1.4142135623730950...(etc)

Pero no es un número como 3, o cinco tercios, ni nada de eso ...

... de hecho, no podemos responder esa pregunta usando una razón de dos enteros

raíz cuadrada de 2 ≠ p/q

... y entonces no es un número racional (lee más aquí)

¡WOW! ¡Hay números que NO son números racionales! ¿Cómo los llamamos?

¿Qué es "no racional" ...? ¡Irracional!

Números irracionales

Entonces, la raíz cuadrada de 2 (√2) es un número irracional. Se llama irracional porque no es racional (no se puede formar usando una simple razón de números enteros). No es que se un número loco ni nada, simplemente no es racional.

Y sabemos que hay muchos más números irracionales. Pi (π) es uno muy famoso.

Utilidad

Entonces los números irracionales son útiles. Los necesitamos para
y más,

Entonces realmente deberíamos incluirlos.

Y así, presentamos un nuevo conjunto de números ...

Números reales

¡Así es, otro nombre!

Los números reales incluyen:

Números reales: {x : x es un número racional o irracional}

De hecho, se puede pensar en un número real como cualquier punto en cualquier lugar de la recta numérica:

Esto solo muestra algunos lugares decimales (es solo una computadora simple)
¡pero los números reales pueden tener muchas más posiciones decimales!

Cualquier punto en cualquier lugar de la recta numérica, ¡seguramente son suficientes números!

Pero hay un número más que ha resultado muy útil. Y una vez más, surgió de una pregunta.

Imagina ...

La pregunta es:

"¿hay una raíz cuadrada de menos uno?"

En otras palabras, ¿qué podemos multiplicar por sí mismo para obtener −1?

Piensa en esto: si multiplicamos cualquier número por sí mismo, no podemos obtener un resultado negativo: Entonces, ¿qué número, cuando se multiplica por sí mismo, da como resultado −1?

Normalmente esto no es posible, pero ...

"si puedes imaginarlo, entonces puedes jugar con él"

Entonces, ...

Números imaginarios

raíz cuadrada de menos uno

.... imaginemos que existe la raíz cuadrada de menos uno.

Incluso podemos darle un símbolo especial: la letra i

Y podemos usarlo para responder preguntas:

Ejemplo: ¿cuál es la raíz cuadrada de −9 ?

Respuesta: √(−9) = √(9 × −1) = √(9) × √(−1) = 3 × √(−1) = 3i

OK, la respuesta aún involucra i, pero da una respuesta sensata y consistente.

Además, i tiene esta interesante propiedad de que si la elevamos al cuadrado (i×i) obtenemos −1 que vuelve a ser un número real. De hecho, esa es la definición correcta:

Número imaginario: Un número cuyo cuadrado es un número real negativo.

También i (la raíz cuadrada de −1) multiplicada por cualquier número real es un número imaginario. Entonces estos son todos números imaginarios:

También hay muchas aplicaciones para los números imaginarios, por ejemplo, en los campos de la electricidad y la electrónica.

Números reales vs imaginarios

Originalmente se reían de los números imaginarios, por lo que recibieron el nombre de "imaginarios". Y los números reales obtuvieron su nombre para distinguirlos de los números imaginarios.

Entonces los nombres son solo una cosa histórica. Los números reales no están "en el mundo real" (de hecho, ¡intenta encontrar exactamente la mitad de algo en el mundo real!) Y los números imaginarios no están "solo en la imaginación" ... ¡Ambos son tipos de números válidos y útiles!

De hecho, a menudo se usan juntos ...

"¿Qué pasa si unimos un número real y un número imaginario?"

Números complejos

Sí, si juntamos un número real y un número imaginario obtenemos un nuevo tipo de números llamados números complejos, y estos son algunos ejemplos:

Un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria, pero cualquiera puede ser cero.

Entonces, un número real también es un número complejo (con una parte imaginaria de 0):
e igualmente un Número Imaginario es también un Número Complejo (con una parte real de 0):

Entonces, los números complejos incluyen todos los números reales y todos los números imaginarios, y todas las combinaciones de ellos.

 

¡Y eso es todo!

Esos son todos los tipos de números más importantes en matemáticas.

Desde los números de conteo hasta los números complejos.

Hay otros tipos de números, porque las matemáticas son un tema amplio, pero eso debería ser suficiente por ahora.

Resumen

Aquí van de nuevo.

Tipo de número Descripción breve
Números de conteo {1, 2, 3, ...}
Naturales {0, 1, 2, 3, ...}
Enteros {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
Racionales p/q : p y q son enteros, q no es cero
Irracionales No es racional
Reales Racionales e irracionales
Imaginarios Al elevarlos al cuadrado da un número real negativo
Complejos Combinaciones de números reales e imaginarios

 

Notas finales

Historia

La historia de las matemáticas es muy amplia, con diferentes culturas (griegas, romanas, árabes, chinas, indias y europeas) siguiendo diferentes caminos, y muchas afirmaciones de "¡a nosotros se nos ocurrió primero!", pero el orden general de descubrimiento que discutí aquí da una buena idea de ello.

Preguntas

Creo que es sorprendente cuántas veces una pregunta, como
Primero generó desacuerdo (¡e incluso la ridiculización!), pero finalmente condujo a asombrosos avances en el conocimiento.

Me pregunto qué preguntas interesantes se están haciendo hoy en día.

¡Sigues tú!

Aquí hay dos preguntas que puedes hacerte cuando aprendes algo nuevo:

¿Puede funcionar en sentido contrario?

¿Puedo usar esto con algo más que sepa?

¡Y un día tus preguntas pueden conducir a un nuevo descubrimiento!

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).