Teorema fundamental de la aritmética
La idea esencial
Partimos de la idea esencial de que cualquier entero mayor a 1 es un número primo o se puede hacer multiplicando números primos. De esta forma:
Esto continúa así:
- 10 es 2×5
- 11 es primo,
- 12 es 2×2×3
- 13 es primo
- 14 es 2×7
- 15 es 3×5
- 16 es 2×2×2×2
- 17 es primo
- etc...
Sigue leyendo para obtener una explicación ...
El teorema fundamental de la aritmética
Comencemos con la definición:
Cualquier número entero mayor que 1 es un número primo o puede escribirse como un producto único de números primos (ignorando el orden).
¿Qué significa?
Construyamos las ideas pieza por pieza:
"Cualquier entero mayor que 1" se refiere a los números 2, 3, 4, 5, 6, ... etc.
Un número primo es un número que no se puede dividir exactamente por ningún otro número (excepto 1 o él mismo).
Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... (y más)
"...producto de números primos" significa que multiplicamos números primos entre sí.
Ejemplo: 42
¿Podemos formar 42 multiplicando solo números primos? Vamos a ver:
2 × 3 × 7 = 42
Sí, 2, 3 y 7 son
números primos, y cuando se multiplican dan 42.
Prueba algunos otros ejemplos tú mismo. ¿Qué tal 30? ¿O 33?
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Es como si los números primos fueran los bloques de construcción básicos de todos los números. |
"... producto único de números primos" significa que solo hay un (¡único!) conjunto de números primos que funcionará.
Ejemplo: acabamos de mostrar que 42 está hecho por los números primos 2, 3 y 7:
2 × 3 × 7 = 42
¡Ningún otro número primo funcionará!
Podemos intentarlo con 2 × 3 × 5, o 5 × 11, pero ninguno de ellos funcionará:
Solo 2, 3 y 7 forman 42
Números Repetidos
Es posible que tengamos que repetir un número primo.
Ejemplo: 12 se forma multiplicando los números primos 2, 2 y 3.
12 = 2 × 2 × 3
Esto está bien. De hecho, podemos escribirlo así (usando exponentes):
12 = 22 × 3
Sigue siendo una combinación única (2, 2 y 3)
(Nota: 4 × 3 no es correcto, ya que 4 no es un número primo)
Árboles de Factores
Un árbol de factores puede ayudarnos a encontrar los factores primos de un número.
Comenzamos con nuestro número, luego lo dividimos en cualquiera de sus factores. Si un factor no es primo, seguimos dividiéndolo hasta que solo queden números primos.
Ejemplo: 48
Dividamos 48 en dos factores:
48 = 8 × 6
Aún no hay primos, sigamos dividiéndolos en partes más pequeñas:
8 = 4 × 2
6 = 2 × 3
Y 4 todavía se puede dividir en 2 × 2. Ahora tenemos todos los primos:
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Y aquí está nuestro árbol de factores:
¡Y no importa con qué factores empecemos, siempre terminamos con el mismo conjunto de números primos!
Intentemos empezar con 48 = 4 × 12 en su lugar:
Seguimos obteniendo los mismos primos
Esto muestra el Teorema Fundamental de la Aritmética en acción: los números pueden ramificarse de diferentes maneras, pero siempre llegamos al mismo conjunto único de factores primos al final.
¡Así que ahí lo tienes!
Cualquiera de los números 2, 3, 4, 5, 6, ... y así sucesivamente, son números primos o se pueden formar multiplicando números primos.
Y solo hay un conjunto (único) de números primos que funciona en cada caso.
Más ejemplos:
Ejemplo: 7
7 ya es un número primo
Ejemplo: 22
22 se puede formar multiplicando los números primos 2 y 11.
2 × 11 = 22
Ninguna otra combinación de números primos funcionará.
Ignorar el Orden
Además, al principio dije "ignorando el orden". Con eso me refiero a que:
- 2 × 11 = 22 es lo mismo que
- 11 × 2 = 22
Así que no simplemente reordenes los números y digas "no es único", ¿de acuerdo?
Los primeros
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2
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Es un primo
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3
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Es un primo
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4
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= 2×2 = 22
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5
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Es un primo
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6
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= 2×3
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7
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Es un primo
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8
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= 2×2×2 = 23
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9
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= 3×3 = 32
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10
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= 2×5
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11
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Es un primo
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12
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= 2×2×3 = 22×3
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13
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Es un primo
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14
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= 2×7
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...
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...
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¿Por qué no continúas esta lista hasta el 100 tú mismo?
Resumen
El teorema fundamental de la
aritmética es como una "garantía"
que cualquier entero mayor que 1
es primo
o se puede hacer multiplicando números primos
y
solo hay una forma de hacerlo en cada caso.
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
