Factorización en primos

Números primos

Un número primo es:

Un número entero que no se puede formar multiplicando otros números enteros.

Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17..., y tenemos una tabla de números primos si necesitas más.

Si podemos hacerlo multiplicando otros números enteros, es un número compuesto.

De esta forma:

primos y compuestos

2 es primo, 3 es primo, 4 es compuesto (=2×2), 5 es primo, y así sucesivamente ...

Factores

"Factores" son números que multiplicamos entre sí para obtener otro número.

factores 2x3=6

Factorización en primos

"Factorizar en primos" es averiguar qué números primos tienes que multiplicar juntos para obtener el número original.

Aquí hay algunos ejemplos:

Ejemplo 1: ¿Cuáles son los factores primos de 12 ?

Es mejor empezar por el número primo más pequeño, que es 2, así que comprobamos:

12 ÷ 2 = 6

Sí, se dividió exactamente por 2. ¡Hemos tomado el primer paso!

Pero 6 no es primo así que tenemos que factorizarlo también. Probemos de nuevo con el 2:

6 ÷ 2 = 3

Sí, eso funcionó también. Y 3 es un número primo, por lo que tenemos la respuesta:

12 = 2 × 2 × 3

 

Como puedes ver, cada factor es un número primo, por lo que la respuesta debe ser correcta.

 

Nota: 12 = 2 × 2 × 3 también se puede escribir usando exponentes como 12 = 22 × 3

Ejemplo 2: ¿Cuál es la factorización en primos de 147 ?

¿Podemos dividir 147 exactamente entre 2?

147 ÷ 2 = 73½

No, no se puede. La respuesta debe ser un número entero, y 73½ no lo es

Probemos el próximo número primo, 3:

147 ÷ 3 = 49

Eso funcionó, ahora intentemos factorizar 49.

El próximo primo, 5, no funciona. Pero 7 sí, así que obtenemos:

49 ÷ 7 = 7

Y eso es tan lejos como podemos ir, porque todos los factores son números primos.

147 = 3 × 7 × 7

(o 147 = 3 × 72 usando exponentes)

Ejemplo 3: ¿Cuál es la factorización en primos de 17 ?

Un momento... 17 es un número primo.

Así que no se puede factorizar.

17 = 17

Otro método

Te hemos enseñado como calcular la factorización empezando por el primo más pequeño y subiendo.

Pero a veces es más fácil factorizar un número en cualquier factor que se pueda ... y luego hallar los factores primos.

Ejemplo: ¿Cuáles son los factores primos de 90 ?

Separa 90 como 9 × 10

Por lo que los factores primos de 90 son 3, 3, 2 y 5

Árbol de factores

Y un "árbol de factores" puede ayudar: se trata de encontrar cualquier factor del número, luego los factores de esos números, etc., hasta que no podamos factorizar más.

Ejemplo: 48

árbol de factorización 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3

48 = 8 × 6, Así que escribimos "8" y "6" por debajo de 48

Ahora continuamos y factorizamos 8 en 4 × 2

Luego 4 en 2 × 2

Y por último 6 como 3 × 2

 

No podemos factorizar más, por lo que hemos encontrado los factores primos.

Lo cual nos revela que 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

(o 48 = 24 × 3 usando exponentes)

¿Para qué hallar los factores primos?

Un número primo solo se puede dividir por 1 o en por sí mismo, por lo que no se puede factorizar más.

Cualquier otro número entero se puede dividir en factores de número primo.

bloques 2, 2, 3  

Es como si los números primos fueran los bloques básicos de construcción

de todos los números.

Esta idea puede ser muy útil cuando se trabaja con grandes números, como en la criptografía.

Criptografía

La criptografía es el estudio de los códigos secretos. La factorización en primos es muy importante para las personas que intentan hacer (o descifrar) códigos secretos basados en números.

Esto es porque factorizar números muy grandes es difícil, y puede tomar computadoras muy potentes y mucho tiempo.

Si deseas saber más, el tema es "encriptación", "cifrado" o "criptografía".

Unicidad

Y aquí está otra cosa:

Solo hay un conjunto (¡único!) de factores primos para cualquier número.

Ejemplo: Los factores primos de 330 son 2, 3, 5 y 11:

330 = 2 × 3 × 5 × 11

No hay otro conjunto posible de números primos que puedan multiplicarse para hacer 330.

Esta idea es tan importante que se llama El teorema fundamental de la aritmética.

Herramienta para factorizar números primos

OK, tenemos un método más ... puedes utilizar nuestra herramienta para factorizar números primos que puede hallar los factores primos para los números hasta 4,294,967,296.

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).