Aguja de Buffon
Cómo estimar Pi soltando un cerillo.
Hace unos cientos de años, a la gente le gustaba apostar arrojando monedas al suelo: ¿la moneda cruzaría una línea o no?
Un hombre (Georges-Louis Leclerc, el conde de Buffon) empezó a pensar en esto y calculó la probabilidad.
Se llama "Aguja de Buffon" en su honor.
¡Ahora es tu turno de probar!
Necesitarás:
Un fósforo, con la cabeza cortada. (Puedes usar una aguja, ¡pero ten cuidado!) |
|
Una hoja de papel con líneas separadas por 50 mm. |
Pasos
- Mide el espaciado de tus líneas (puede que no se imprima exactamente a 50 mm): ____ mm
- Mide la longitud de tu fósforo (debe ser menor que el espacio entre líneas): ____ mm
- Asegúrate de que tu hoja de papel esté sobre una superficie plana, como una mesa o el piso.
- Desde una altura de unos 5 cm, deja caer el fósforo sobre el papel y registra si aterriza:
-
A: No toca la línea
B: Toca o cruza la línea
La altura exacta desde la que dejas caer el cerillo no es importante, ¡pero no lo dejes tan cerca del papel que estés engañando!
Si el fósforo se sale completamente del papel, no cuentes ese turno.
100 veces
Ahora soltaremos el cerillo 100 veces, pero primero ...
... ¿Qué porcentaje crees que aterrizará A o B?
Haz una suposición (estimación) antes de comenzar el experimento:
Tu estimación para "A" (%): | |
Tu estimación para "B" (%): |
Bien, comencemos.
Suelta el cerillo 100 veces y registra A (no toca una línea de la cuadrícula) o B (toca o cruza una línea de la cuadrícula) usando las Marcas de conteo:
El cerillo cae | Cuenta | Frecuencia | Porcentaje |
A
(no toca) |
|||
B
(toca o cruza) |
|||
Totales: | 100 | 100% |
Ahora dibuja una Gráfica de barras para ilustrar tus resultados. Puedes crear uno en Gráficas de datos (barra, línea y pastel).
- ¿Las barras tienen la misma altura?
- ¿Esperabas que lo fueran?
- ¿Cómo se compara el resultado con tu suposición?
Ahora estimemos Pi
Buffon usó los resultados de su experimento con una aguja para estimar el valor de π (Pi). Elaboró esta fórmula:
π ≈ 2Lxp
Dónde
- L es la longitud de la aguja (o igual en nuestro caso)
- x es el espacio entre líneas (50 mm para nosotros)
- p es la proporción de agujas que cruzan una línea (caso B)
¡Nosotros también podemos hacerlo!
Ejemplo: Mayra tenía un cerillo de 31 mm de longitud y un espaciado entre líneas de 40 mm y 49 de 100 lanzamientos cruzaron la línea.
Entonces Mayra tenía:
- L = 31
- x = 40
- p = 49/100 = 0.49
Sustituyendo estos valores en la fórmula, Mayra obtuvo:
π ≈ 2 × 3140 × 0.49 ≈ 3.16
Ahora es tu turno. Complete la siguiente tabla con tus propios resultados:
Longitud del cerillo "L" (mm): | |
Espacio entre líneas "x" (mm): | |
p (la proporción de cerillos que cruzan una línea): |
Y haz el cálculo:
π ≈ 2L xp ≈ 2 × _____ _____ × _____ ≈ _____
¿Lo hiciste mejor?
No será exacto (porque es algo aleatorio) pero puedes estar cerca.
Cambiando de tema
La siguiente parte de esta actividad es "cambiar el argumento" de la fórmula para calcular el valor perfecto de "p" (la proporción de veces que el cerillo cruza la línea):
Y obtenemos:
p ≈ 2L πx
Ejemplo: Alex tenía un cerillo de 36 mm de longitud y un espaciado de línea de 50 mm.
Entonces Alex tenía:
- L = 36
- x = 50
Sustituyendo estos valores en la fórmula, Alex obtuvo:
p ≈ 2 × 36 π × 50 ≈ 0.46...
Así que Alex debería esperar que el cerillo cruce la línea (caso B) 46 de cada 100 veces
Complete la siguiente tabla con tus propios resultados:
Longitud del cerillo "L" (mm): | |
Espacio entre líneas "x" (mm): | |
Estimado para p (≈ 2L/πx): |
¿Qué tan cerca estabas?
Diferente tamaño de cerillo
Intenta repetir el experimento con un cerillo de tamaño diferente (¡pero no más grande que el interlineado!)
- ¿Obtuviste mejores o peores resultados?
Qué has hecho
Te has divertido (con suerte) realizando un experimento.
Has tenido experiencia con los cálculos.
Y has visto la relación entre teoría y realidad.