Actividad: Lata de sopa

lata de sopa

"Sopas la Asociatividad" quiere vender sopa en latas cilíndricas que contengan 400 ml  (mililitros)

También quieren minimizar la cantidad de metal en cada lata.

¡Como experto local en matemáticas, es tu trabajo ayudarlos!

Volumen y área de superficie

cilindro r y h  

Para un cilindro de altura h y radio base r:

  • Área de superficie = 2 × π × r × (r + h)
  • Volumen = π × r2 × h

Que se puede abreviar a:

  • A = 2πr(r + h)
  • V = πr2h

Grosor del metal

Supongamos que el metal tiene un espesor uniforme, por lo que solo queremos encontrar

El área de superficie más pequeña que contendrá 400 ml

Supongamos también que el espesor del metal no afecta el volumen (es decir, es muy pequeño en comparación con el tamaño de la lata).


Para resolver esto trabajaremos en centímetros, así:

Esto lo hace fácil, ya que 1 ml es lo mismo que un volumen de 1 cm3 - lee la página volumen métrico.

Entonces V = 400

Esto nos da la fórmula 400 = πr2h

Pon a h como el objetivo de la fórmula :

Divide ambos lados por πr2: 400/πr2 = h
Intercambia lados: h = 400/πr2

Sustituye h por este valor en la fórmula de A:

A = 2πr(r+h) = 2πr(r + 400/πr2) = 2πr2 + 800/r

Ahora conocemos el Área en términos del Radio:

A = 2πr2 + 800/r

Este es un modelo matemático muy simple de la lata de sopa.

¡Tu turno ahora!

Te he ayudado bastante. Ahora es tu turno.

Puedes usar la fórmula anterior para investigar cómo el cambio del radio afecta el área y para encontrar qué radio da la menor área de metal.

Puedes hacer un informe que explique cosas para todos (supón que tendrás que presentarlo en una reunión de ejecutivos), con un gráfico, una tabla y palabras.

Gráfico: dibuja el gráfico de la función, encuentra el valor mínimo (puedes usar el  Graficador de funciones)

Tabla: encuentra puntos de ejemplo en el gráfico sustituyendo diferentes valores de r.

Por ejemplo, si r = 2, entonces A = 2π × 22 + 800/2 = 8π + 400 = 425 redondeado al número entero más cercano.

En otras palabras, cuando el radio de la lata es de 2 cm, el área de metal necesaria para hacer la lata es de 425cm2.

Coloca los valores de ejemplo en una tabla, como esta:

Radio Área Comentarios
0    
1    
2    
3    
4    
5    
6    
7    

Informe: Pon el gráfico y la tabla juntos en un informe, con:

Una lata de 1 litro

¿Cuál es el mejor radio para una lata de sopa de 1 litro?

 

Mejora el modelo

Aire

Las latas de sopa no están completamente llenas de sopa... hay un pequeño espacio de aire en la parte superior. Puedes modelar esto agregando (digamos) 1 cm a la altura.

¿Puedes escribir la fórmula incluyendo este cambio?

¿Cómo afecta esto al gráfico y al valor mínimo?

Bordes

Las latas de sopa tienen bordes extra gruesos en la parte superior e inferior, ¿cómo podrías incluir esto en la fórmula?