Funciones Pares e Impares

Son tipos especiales de funciones.

Funciones pares

Una función es "par" cuando:

f(x) = f(−x) para todo x

En otras palabras, hay simetría respecto al eje y (como una reflexión):

Función Par

Ésta es la curva f(x) = x2+1

Se llamaron funciones "pares" porque las funciones x2, x4, x6, x8, etc. se comportan así, pero también hay otras funciones que se comportan así, como cos (x):

cos(x)
función coseno: f(x) = cos(x)
Es una función par

Pero un exponente par no siempre hace una función par, por ejemplo (x+1)2 no es una función par.

Funciones impares

Una función es "impar" cuando:

−f(x) = f(−x) para todo x

Observa el signo menos en frente de f(x): −f(x).

Y se tiene simetría respecto al origen:

Función Impar

Ésta es la curva f(x) = x3−x

Los llamaron "impares" porque las funcionesx, x3, x5, x7, etc. se comportan así, pero también hay otras funciones que se comportan así, como sen(x):

sen(x)
Función seno: f(x) = sen(x)
Es una función impar

Pero un exponente impar no siempre hace una función impar, por ejemplo x3+1 no es una función impar.

Ni par ni impar

No te dejes engañar por los nombres "impar" e "par" ... son solo nombres ... y una función no tiene que ser par o impar.

De hecho, la mayoría de las funciones no son ni impares ni pares. Por ejemplo, solo agregando 1 a la curva anterior se obtiene esto:

Función que no es par ni impar

Ésta es la curva f(x) = x3−x+1

No es una función impar, y tampoco es una función par.
No es ni par ni impar

¿Par o impar?

Ejemplo: ¿es f(x) = x/(x2−1) par, impar, o ninguna de las dos?

Veamos que pasa cuando sustituimos −x:

f(−x) = (−x)/((−x)2−1)
=−x/(x2−1)
=−f(x)

 

Por lo tanto, f(−x) = −f(x) , lo cual nos dice que es una Función Impar.

Even and Odd

La única función que es impar y par es f (x) = 0

Propiedades especiales

Suma:

Multiplicación:

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).