Simetría de las Ecuaciones
Las ecuaciones pueden tener simetría:
Gráfica de x2
Simetría respecto al eje-Y
Gráfica de 1/x
Simetría diagonal
En otras palabras, hay una imagen reflejada.
Beneficios
Los beneficios de encontrar simetría en una ecuación son:
- entendemos mejor la ecuación
- es más fácil trazar
- Puede ser más fácil de resolver. Cuando encontramos una solución en un lado, podemos decir "también, por simetría, el (valor reflejado)".
Cómo Verificar la Simetría
A menudo podemos ver la simetría visualmente, pero para estar realmente
seguros debemos verificar un hecho simple:
¿La ecuación no cambia cuando se usan valores simétricos?
La manera de hacer esto depende del tipo de simetría:
Para la simetría sobre el eje Y
Para la simetría con respecto al eje Y, verifica si la ecuación es la misma cuando se reemplaza x con −x:
Ejemplo: ¿es y = x2 simétrica respecto al eje Y?
Intenta reemplazar x con −x:
y = (−x)2
Dado que (−x)2 = x2 (negativo por negativo da positivo), no hay cambio.
Así que y = x2 es simétrica respecto al eje-Y
Para la simetría sobre el eje X
Usa la misma idea que para el eje Y, pero reemplaza y con −y.
Ejemplo: ¿es y = x3 simétrica respecto al eje X?
Intenta reemplazar y con −y:
−y = x3
Ahora intenta obtener la ecuación original:Intenta multiplicar ambos lados por −1:
y = −x3
Es diferente.
Por lo que y = x3 no es simétrica respecto al eje Y
Simetría Diagonal
Intenta intercambiar y y x (i.e., reemplaza y con x y x con y).
Ejemplo: ¿ y = 1/x tiene simetría diagonal?
Empieza con:
y = 1/x
Intercambia y con x:
x = 1/y
Ahora reorganiza eso: multiplica ambos lados por y:
xy = 1
Luego divide ambos lados entre x:
y = 1/x
Y tenemos la ecuación original. Son iguales.Entonces y = 1 / x tiene simetría diagonal
Simetría respecto al origen
La Simetría con el Origen es cuando cada parte tiene una parte correspondiente que está a:
- la misma distancia de un punto central
- pero en dirección opuesta.
Verifica si la ecuación es la misma cuando reemplazamos ambas x con −x y y con −y.
Ejemplo: ¿ y = 1/x tiene simetría respecto al origen?
Empieza con:
y = 1/x
Reemplaza x con −x y y con −y:
(−y) = 1/(−x)
Multiplica ambos lados por −1:
y = 1/x
Y tenemos la ecuación original.
Así que y = 1/x tiene Simetría con el Origen.
¡Asombroso! ¡ y = 1/x tiene simetría diagonal y también simetría con el origen!
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).