Polinomios: Acotando los Ceros
Una forma inteligente de saber dónde buscar raíces.
Un Polinomio se ve así:
 |
| ejemplo de un polinomio este tiene 3 términos |
Un polinomio tiene coeficientes:
Los términos están en orden de mayor a menor exponente
Un polinomio también tiene raíces:
Una "raíz" (o "cero") es donde el polinomio es igual a cero.
Ejemplo: 3x − 6 es igual a cero cuando x=2, porque 3(2)−6 = 6−6 = 0
¿Dónde están las raíces (ceros)?
¡A veces puede ser difícil encontrar dónde están las raíces!
... ¿dónde debemos buscar ... qué tan lejos debemos ir a la izquierda o a la derecha?
Aquí veremos una manera inteligente de saber dónde buscar todas las raíces reales.¡Y solo usaremos aritmética simple!
Pasos
Primero preparamos nuestros datos:- El coeficiente principal debe ser 1. Si no lo es, divide cada término del polinomio por el coeficiente principal
- Escribe todos los coeficientes
- ¡Ahora olvídate del coeficiente principal!
- Elimina los signos negativos
- Y ahora tenemos una lista de valores para el siguiente paso
- Cota 1: el mayor valor, más 1
- Cota 2: la suma de todos los valores, o 1, el que sea mayor
El más pequeño de esas 2 cotas es nuestra respuesta ...
... ¡Todas las raíces están dentro de más menos eso!
Ejemplos
Ejemplo: x3 + 2x2 − 5x + 1
El coeficiente principal es 1, por lo que podemos continuar.Los coeficientes son: 1, 2, −5, 1
Olvídate del coeficiente principal y elimina cualquier signo menos: 2, 5, 1
Cota 1: el valor más grande es 5. Más 1 = 6
Cota 2: sumar todos los valores da: 2 + 5 + 1 = 8
La cota más pequeña es 6
Todas las raíces reales están entre −6 y +6
Entonces podemos graficar entre −6 y 6 y encontrar cualquier raíz real. Es mejor graficar con un ancho un poco mayor para que podamos ver si una curva tiene raíces justo en −6 o 6:
Ahora simplemente podemos hacer 'zoom' en la gráfica para obtener valores más precisos para las raíces.
Ejemplo: 10x5 + 2x3 − x2 − 3
El coeficiente principal es 10, por lo que debemos dividir todos los términos por 10:
x5 + 0.2x3 − 0.1x2 − 0.3
Los coeficientes son: 1, 0.2, −0.1, −0.3
Olvídate del coeficiente principal y elimina cualquier signo menos: 0.2,
0.1, 0.3
- Cota 1: el valor más grande es 0.3. Más 1 = 1.3
- Cota 2: sumar todos los valores da: 0.2+0.1+0.3 = 0.6, lo cual es menor que 1, así que la respuesta es 1
El valor más chico es 1.
Todas las raíces reales están entre −1 y +1
Dejaré que hagas la gráfica tú mismo.
Notas
Acotar mediante "Cota 1" y "Cota 2" no es la única forma de encontrar
los límites de las raíces, ¡pero estas son fáciles de usar!
También ten en cuenta: graficando polinomios puedes encontrar solamente
las raíces Reales, pero
también puede haber raíces Complejas.
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
