Sucesiones Aritméticas y Sumas
Sucesión
Una Sucesión es un conjunto de cosas (generalmente números) que están en orden.
Cada número en la secuencia se llama término (o, a veces, "elemento" o "miembro"), lee Sucesiones y Series para más detalles.
Sucesión aritmética
En una sucesión aritmética, la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.
En otras palabras, simplemente sumamos el mismo valor cada vez ... infinitamente.
Ejemplo:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... |
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada número.
El patrón continúa sumando
3 al último número cada vez, así:
En general, podríamos escribir una sucesión aritmética así:
{a, a+d, a+2d, a+3d, ... }
donde:
- a es el primer término, y
- d es la diferencia entre los términos (llamada "diferencia común")
Ejemplo: (continuación)
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... |
Tiene:
- a = 1 (el primer término)
- d = 3 (la "diferencia común" entre términos)
Y obtenemos:
{a, a+d, a+2d, a+3d, ... }
{1, 1+3, 1+2×3, 1+3×3, ... }
{1, 4, 7, 10, ... }
Regla
Podemos escribir una sucesión aritmética como regla:
xn = a + d(n−1)
(Usamos "n−1" porque la d no se usa en el 1er
término).
Ejemplo. Escribe una regla y calcula el noveno término para esta sucesión aritmética:
3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ... |
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada número.
Los valores de a y d son:
- a = 3 (el primer término)
- d = 5 (la "diferencia común")
Usando la regla de sucesión aritmética:
xn = a + d(n−1)
= 3 + 5(n−1)
= 3 + 5n − 5
= 5n − 2
Entonces el noveno término es:
x9 = 5×9 − 2
= 43
¿Está bien? ¡Compruébalo por ti mismo!
Las sucesiones aritméticas a veces se llaman progresiones aritméticas.
Tema avanzado: Sumar una serie aritmética
Para sumar los términos de esta sucesión aritmética:
a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) + ...
usa esta fórmula:
¿Cuál es ese símbolo raro? Se llama Notación Sigma
(llamado Sigma) significa "suma" |
Y abajo y arriba se muestran los valores iniciales y finales:
Dice "Suma n donde n va de 1 a 4. Respuesta=10
Aquí está cómo usarlo:
Ejemplo: Suma los primeros 10 términos de la sucesión aritmética:
{ 1, 4, 7, 10, 13, ... }
Los valores de a, d y n son:
- a = 1 (el primer término)
- d = 3 (la "diferencia común" entre términos)
- n = 10 (la cantidad de términos a sumar)
Entonces:
Se convierte en:= 5(2+9·3) = 5(29) = 145
Verifica: ¿por qué no sumas los términos tú mismo y ves si realmente el resultado es 145?
Nota al pie: ¿Por qué funciona la fórmula?
Veamos porqué funciona la fórmula, pues podremos usar un "truco" interesante que vale la pena conocer.Primero, llamaremos a toda la suma "S":
Luego, reescribimos S en orden inverso:
Ahora sumamos esas dos, término por término:
S | = | a | + | (a+d) | + | ... | + | (a + (n-2)d) | + | (a + (n-1)d) |
S | = | (a + (n-1)d) | + | (a + (n-2)d) | + | ... | + | (a + d) | + | a |
2S | = | (2a + (n-1)d) | + | (2a + (n-1)d) | + | ... | + | (2a + (n-1)d) | + | (2a + (n-1)d) |
¡Cada término es igual! Y hay "n" de ellos, así que ...
Ahora, tan solo dividimos entre 2 y obtenemos:
S = (n/2) × (2a + (n−1)d)
Que es nuestra fórmula:
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).