Sucesiones y series
Puedes leer una introducción sencilla a las sucesiones en patrones comunes de números.
¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) en un cierto
orden.
Finita o infinita
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión
infinita,
si no es una sucesión finita
Ejemplos:
{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos duplicando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)
En orden
Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Como un conjunto
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero:
- los términos están en orden (en los conjuntos el orden no importa).
- el mismo valor puede aparecer muchas veces (en los conjuntos solo una vez).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s.
El conjunto sería solo {0,1}
Notación
Las secuencias también usan la misma notación
que los conjuntos: se enumera cada elemento, separados por una coma, y luego se ponen llaves alrededor de todo. |
{3, 5, 7, ...} |
Los corchetes { } también se conocen como "llaves".
La regla
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:
¡Pero la regla debería ser una fórmula!
Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:
- 10º término,
- 100º término, o
- n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).
Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).
Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:
Probamos la regla: 2n
n | Término | Prueba |
---|---|---|
1 | 3 | 2n = 2×1 = 2 |
2 | 5 | 2n = 2×2 = 4 |
3 | 7 | 2n = 2×3 = 6 |
Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:
Probamos la regla: 2n+1
n | Término | Regla |
---|---|---|
1 | 3 | 2n+1 = 2×1 + 1 = 3 |
2 | 5 | 2n+1 = 2×2 + 1 = 5 |
3 | 7 | 2n+1 = 2×3 + 1 = 7 |
¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como
2n+1
Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º:
2 × 100 + 1 = 201
Muchas Reglas
Pero las matemáticas son tan poderosas que podemos encontrar más de una regla que funcione para cualquier sucesión.
Ejemlpo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...}
Acabamos de mostrar que la regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1
Y obtuvimos: {3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
¿Pero podemos encontrar otra regla?
¿Qué tal "números impares que no tengan un 1 en sus dígitos"?:
Tendríamos: {3, 5, 7, 9, 23, 25, ...}
¡Una sucesión completamente diferente!
Y podríamos encontrar más reglas que coincidan con {3, 5, 7, 9, ...}. ¡De verdad!
Por lo tanto, es mejor decir "Una regla" en lugar de "La regla" (a menos que sepamos que es la regla correcta).
Notación
Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:
|
Ejemplo: Para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x5
Entonces podemos escribir una regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:
xn = 2n+1
Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:
x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21
¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?
Aquí está otro ejemplo:
Ejemplo: Calcula los primeros 4 términos de esta sucesión:
{an} = { (-1/n)n }
Operaciones:
- a1 = (-1/1)1 = -1
- a2 = (-1/2)2 = 1/4
- a3 = (-1/3)3 = -1/27
- a4 = (-1/4)4 = 1/256
Respuesta:
{an} = { -1, 1/4, -1/27, 1/256, ... }
Sucesiones especiales
Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:Sucesiones aritméticas
El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.
Ejemplos
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... |
La regla es xn = 3n−2
En general, podemos escribir una sucesión aritmética de esta forma:
{a, a+d, a+2d, a+3d, ... }
donde:
- a es el primer término, y
- d es la diferencia entre los términos (llamada "diferencia común")
Y podemos establecer la regla:
xn = a + d(n-1)
(Usamos "n-1" porque la d no se usa en el primer
término).
Sucesiones geométricas
En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por una constante.
Ejemplos:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... |
La regla es xn = 2n
En general, podemos escribir una sucesión geométrica de esta forma:
{a, ar, ar2, ar3, ... }
donde:
- a es el primer término, y
- r es la proporción entre cada par de términos (llamada "razón común")
Nota: r no puede ser 0.
- Cuando r=0, obtenemos la sucesión {a,0,0,...}, la cual no es geométrica.
Y la regla es:
xn = ar(n-1)
(Usamos "n-1" porque ar0 es el 1er término)
Números triangulares
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ... |
La Sucesión Triangular se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
Pero es más fácil usar la regla:
xn = n(n+1)/2
Ejemplo:
- El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
- y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21
Números cuadrados
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ... |
El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición en la sucesión.
La regla es xn = n2
Números cúbicos
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ... |
El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.
La regla es xn = n3
Números de Fibonacci
Ésta es la Sucesión de Fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... |
El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
- El 2 se calcula sumando los dos antes de él (1+1)
- El 21 se calcula sumando los dos antes de él (8+13)
- etc...
La regla es xn = xn−1 + xn−2
Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
La sucesión de Fibonacci está numerada del 0 en adelante, de esta manera:
n = | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | ... |
xn = | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | ... |
Ejemplo: el 6º término se calcularía así:
x6 = x6−1 + x6−2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
Series y sumas parciales
Ahora que ya conoces las sucesiones, el siguiente tema por aprender es cómo sumarlas. Lee nuestra página sobre Sumas Parciales.
Cuando sumamos solo una parte de la sucesión decimos que hacemos una suma parcial.
Pero una suma de una sucesión infinita se llama "serie" (parece como si fuera otro nombre para las sucesiones, pero en realidad es una suma). Lee Series Infinitas.
Ejemplo: Números impares
Sucesión: {1, 3, 5, 7, ...}
Serie: 1 + 3 + 5 + 7 + ...
Suma parcial de los primeros tres términos: 1 + 3 + 5
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).