La sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.
- el 2 se obtiene sumando los dos números anteriores (1+1),
- el 3 se obtiene sumando los dos números anteriores (1+2),
- el 5 es (2+3),
- ¡y sigue!
Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55
¡Así de simple!
Aquí tienes una lista más larga:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, ...
¿Puedes encontrar los siguientes números?
Forman una espiral
Cuando hacemos cuadrados con esos anchos, obtenemos una bonita espiral:
¿Ves cómo encajan perfectamente los cuadrados?
Por ejemplo, 5 y 8 hacen 13, 8 y 13 hacen 21, y así sucesivamente.
¡Esta espiral se encuentra en la naturaleza!
Lee: La naturaleza, la
razón de oro y los números de Fibonacci
La regla
La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla" (lee sucesiones y series):
Primero, los términos se numeran de 0 en adelante así:
| n = | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | ... |
| xn = | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | ... |
Entonces el término número 6 se llama x6 (y es igual a 8).
|
Ejemplo: el 8vo término es
|
 |
Entonces podemos escribir la regla:
La regla es xn = xn−1 + xn−2
donde:
- xn es el término en posición "n"
- xn−1 es el término anterior (n−1)
- xn−2 es el anterior a ese (n−2)
Ejemplo: el término 9 se calcula así:
Razón de oro
Y hay una sorpresa. Si tomas dos números de Fibonacci consecutivos (uno detrás del otro), su cociente está muy cerca de la razón áurea "φ" que tiene el valor aproximado 1.618034...
De hecho, cuanto más grandes los números de Fibonacci, más cerca está la aproximación. Probemos con algunos:
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A
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B
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B / A
|
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|---|---|---|---|
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2
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3
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1.5 | |
|
3
|
5
|
1.666666666... | |
|
5
|
8
|
1.6 | |
|
8
|
13
|
1.625 | |
|
...
|
...
|
... | |
|
144
|
233
|
1.618055556... | |
|
233
|
377
|
1.618025751... | |
|
...
|
...
|
... |
No tenemos que empezar con 2 y 3. Aquí elegí al azar 192 y 16 (y obtuve la sucesión 192, 16, 208, 224, 432, 656, 1088, 1744, 2832, 4576, 7408, 11984, 19392, 31376, ...):
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A
|
B
|
B / A
|
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|---|---|---|---|
|
192
|
16
|
0.08333333... | |
|
16
|
208
|
13 | |
|
208
|
224
|
1.07692308... | |
|
224
|
432
|
1.92857143... | |
|
...
|
...
|
... | |
|
7408
|
11984
|
1.61771058... | |
|
11984
|
19392
|
1.61815754... | |
|
...
|
...
|
... |
Se necesita más tiempo para obtener buenos valores, ¡pero demuestra que no solo la sucesión de Fibonacci tiene esta propiedad!
Usar la razón de oro para calcular números de Fibonacci
Y es más sorprendente todavía esta fórmula para calcular cualquier número de Fibonacci usando la razón de oro:
xn = φn − (1−φ)n√5
Increíblemente el valor siempre es un número entero, exactamente igual a la suma de los dos términos anteriores.
Ejemplo: x6
x6 = (1.618034...)6 − (1−1.618034...)6√5
Cuando usé una calculadora para hacerlo (con solo 6 decimales para la razón aúrea) obtuve la respuesta 8.00000033. Un cálculo más exacto habría dado un valor más cercano a 8.
Prueba n=12 y mira lo que obtienes.
También puede calcular un número de Fibonacci multiplicando el número de Fibonacci anterior por la proporción áurea y luego redondeando (funciona para números superiores a 1):
Ejemplo: 8 × φ = 8 × 1.618034... = 12.94427... = 13 (redondeado)
Algunas cosas interesantes
Aquí está la sucesión de Fibonacci nuevamente:
| n = | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ... |
| xn = | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610 | ... |
Hay un patrón interesante:
- Observa el número x3 = 2. Cada 3er número es un múltiplo de 2 (2, 8, 34, 144, 610, ...)
- Observa el número x4 = 3. Cada 4to número es un múltiplo de 3 (3, 21, 144, ...)
- Observa el número x5 = 5. Cada 5to número es un múltiplo de 5 (5, 55, 610, ...)
Y así sucesivamente (cada n-ésimo número es un múltiplo de xn).
1/89 = 0.011235955056179775...
¿Observas que los primeros dígitos (0,1,1,2,3,5) son la sucesión de Fibonacci?En cierto modo, todos lo son, excepto los números de varios dígitos (13, 21, etc.) que se superponen, así:
| 0.0 |
| 0.01 |
| 0.001 |
| 0.0002 |
| 0.00003 |
| 0.000005 |
| 0.0000008 |
| 0.00000013 |
| 0.000000021 |
| ... etc ... |
| 0.011235955056179775... = 1/89 |
Por debajo de cero
La sucesión también funciona por debajo de cero, así:
| n = | ... | −6 | −5 | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... |
| xn = | ... | −8 | 5 | −3 | 2 | −1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | ... |
(¡Demuéstrate a ti mismo que cada número se encuentra sumando los dos números anteriores!)
De hecho, la sucesión por debajo de cero tiene los mismos números que la sucesión por encima de cero, excepto que siguen un patrón +-+- ... Se puede escribir así:
x−n = (−1)n+1 xn
Lo que dice que el término "−n" es igual a(−1)n+1 por el término "n", y el valor (−1)n+1 hace ordenadamente el patrón correcto +1, −1, +1, −1, ....
Historia
Fibonacci no fue el primero en conocer la sucesión, ¡se conocía en la India cientos de años antes!
Acerca de Fibonacci, la persona
Su verdadero nombre era Leonardo Pisano Bogollo, y vivió entre 1170 y
1250 en Italia.
"Fibonacci" era su apodo, que aproximadamente significa "Hijo de
Bonacci".
Además de ser famoso por la sucesión de Fibonacci, ayudó a difundir los
numerales indo-arábigos (como
nuestros números actuales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) a través de
Europa en lugar de los numerales
romanos (I, II, III, IV, V, etc). ¡Eso nos ha ahorrado muchos
problemas a todos! Gracias Leonardo.
El día Fibonacci
El día de Fibonacci es el 23 de noviembre, ya que tiene los dígitos "1, 1, 2, 3" que son parte de la sucesión. ¡Así que el próximo 23 de noviembre, avísale a todos!
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
