Teoremas, Corolarios y Lemas


¿Qué son todas esas cosas? ¡Suenan tan impresionantes!

Bueno, son básicamente hechos: algunos resultados a los que se ha llegado.

Ejemplos

Aquí hay un ejemplo de Geometría:

Ejemplo: un teorema y un corolario

Teorema:

Los ángulos de un lado de una línea recta siempre suman 180°.

ángulos que suman 180 grados

 

Corolario:

Siguiendo con ese teorema, encontramos que donde dos líneas se cruzan, los ángulos opuestos entre sí (llamados Opuestos por el Vértice) son iguales (a=c y b=d en el diagrama).

opuestos por el vértice-abcd
Ángulo a =
Ángulo c
Ángulo b =
Ángulo d

Demostración:

Los ángulos a y b suman 180° porque están del mismo lado de una línea:

a + b = 180°

a = 180° − b

Del mismo modo para los ángulos b y c

b + c = 180°

c = 180° − b

Y dado que a y c son iguales a 180° − b, entonces

a = c

 

Y un ejemplo un poco más complicado de Geometría:

Ejemplo: un teorema, un corolario y también un lema.

Teorema:

ángulo central 2a e instrito a
Un ángulo inscrito a° mide la mitad del ángulo central 2a°

Esto se llama Teorema del Ángulo Central.

Demostración: Une el centro O al punto A.

demostración del ángulo inscrito

El triángulo ABO es isósceles (dos lados iguales, dos ángulos iguales), entonces:

Ángulo OBA = Ángulo BAO =

Y, usando que los Ángulos internos de un Triángulo suman 180°:

Ángulo AOB = (180 − 2b)°

El triángulo ACO es isósceles, entonces:

Ángulo OCA = Ángulo CAO =

Y, de nuevo, usando que los Ángulos internos de un Triángulo suman 180°:

Ángulo AOC = (180 − 2c)°

Y, usando que los Ángulos alrededor de un punto suman 360°:

Ángulo BOC = 360° − (180 − 2b)° − (180 − 2c)°
 = 2b° + 2c°
 = 2(b + c)°

Reemplaza b + c con a, y se tiene:

Ángulo BAC = a° y Ángulo BOC = 2a°

ángulo central 2a e instrito a

Y hemos demostrado el teorema.

(Ese fue un resultado "importante", por lo que es un Teorema).

 

Corolario

(Esto se llama "Teorema de los Ángulos con el Mismo Arco", pero en realidad es solo un Corolario del "Teorema del Ángulo Central")

Manteniendo los puntos extremos fijos ... ... el ángulo a° siempre mide lo mismo, sin importar dónde se encuentre en la circunferencia:

Ángulos inscritos. Ambos miden "a"

Entonces, los Ángulos subtendidos por el mismo arco son iguales.

Lema

(Esto a veces se llama el "Teorema del Ángulo en el Semicírculo", pero en realidad es solo un Lema al "Teorema del Ángulo Central")

ángulo central 2a e instrito asemicírculo de 180 y ángulo de 90

En el caso especial donde el ángulo central forma un diámetro del círculo:

2a° = 180° , por lo que a° = 90°

Entonces, un ángulo inscrito en un semicírculo es siempre un ángulo recto.

(Ese fue un resultado "pequeño", así que es un Lema).

 

Otro ejemplo, relacionado con el Teorema de Pitágoras:

Ejemplo:

Teorema

Si m y n son dos números enteros tales que:

entonces a2 + b2 = c2

Demostración:

a2 + b2 = (m2 − n2)2 + (2mn)2
 = m4 − 2m2n2 + n4 + 4m2n2
 = m4 + 2m2n2 + n4
 = (m2 + n2)2
 = c2

(Ese fue un resultado "importante").

 

Corolario

a, b y c, tal como se definieron arriba, son una Terna Pitagórica

Demostración:

Del Teorema sabemos que a2 + b2 = c2,
Entonces a, b y c son una Terna Pitagórica

(Ese resultado "siguió" del Teorema anterior).

 

Lema

Si m = 2 y n = 1, entonces obtenemos la terna pitagórica 3, 4 y 5

Demostración:

Si m = 2 y n = 1, entonces

(Ese fue un resultado "pequeño").