Ternas pitagóricas - Avanzado
(Tal vez quieras leer primero sobre el Teorema
de Pitágoras
o leer antes una Introducción a
las ternas pitagóricas)
Una terna pitagórica es un conjunto de enteros positivos, a, b y c que satisfacen:
a2 + b2 = c2
Triángulos
Y cuando los lados de un triángulo tienen como medida una terna pitagórica, entonces se trata de un triángulo rectángulo (lee Teorema de Pitágoras para saber más):
Nota:
- c es el lado más largo del triángulo, llamado "hipotenusa"
- a y b son los otros dos lados, llamados catetos.
Ternas pitagóricas
Un ejemplo famoso de ternas pitagóricas:
El triángulo 3,4,5 |
32 + 42 = 52 |
9 + 16 = 25 |
Aquí tienes más ejemplos:
5, 12, 13 | 9, 40, 41 | |
52 + 122 = 132 | 92 + 402 = 412 | |
25 + 144 = 169 | (¡Compruébalo tú mismo!) |
Sin fin
El conjunto de ternas pitagóricas no tiene fin.
Es fácil demostrarlo usando la primera terna pitagórica (3, 4, y 5):Sea n un entero mayor que 1: 3n, 4n y 5n también son una terna pitagórica. Esto es verdad porque:
(3n)2 + (4n)2 = (5n)2
Ejemplos:
n | (3n, 4n, 5n) | |
---|---|---|
2 | (6,8,10) | |
3 | (9,12,15) | |
... | ... etc ... |
Así que puedes crear infinitas ternas pitagóricas a partir de la terna (3,4,5).
Demostración de Euclides de que hay infinitas ternas pitagóricas
De todas maneras, Euclides usó un razonamiento diferente para demostrar que el conjunto de ternas pitagóricas no tiene fin.
La prueba se basa en que la diferencia de dos cuadrados de números consecutivos es siempre un número impar.
Ejemplos:
22 − 12 = 4 − 1 = 3 (un número impar),
32 − 22 = 9 − 4 = 5 (un número impar),
42 − 32 = 16 − 9 = 7 (un número impar),
etc.
Tal como se muestra en esta imagen (¿puedes comprender por qué?)
Números impares y cuadrados consecutivos
Lee Cuadrados y números impares, o echa un vistazo a esta tabla como ejemplo:
n | n2 | Diferencia |
---|---|---|
1 | 1 | |
2 | 4 | 4−1 = 3 |
3 | 9 | 9−4 = 5 |
4 | 16 | 16−9 = 7 |
5 | 25 | 25−16 = 9 |
... | ... | ... |
Y hay un número infinito de números impares. Dado que los cuadrados
perfectos forman un subconjunto de los números impares, y una fracción
del infinito también es infinito, se deduce que también debe haber un
número infinito de cuadrados impares. De modo que hay un número infinito
de ternas pitagóricas.
Propiedades
Se puede ver que una terna pitagórica tiene:
- tres números pares, o
- dos impares y uno par.
Una terna pitagórica no puede tener todo números impares ni dos pares y uno impar. Esto es porque:
- El cuadrado de un impar es impar y el cuadrado de un par es par.
- La suma de dos pares es par y la suma de impar y par es impar.
Por tanto, si uno de entre a y b es impar y el otro par, c tiene que ser impar. Y si a, b son pares, ¡c es par!
Construir ternas pitagóricas
Es fácil construir ternas pitagóricas.Sean m y n cualesquiera dos enteros positivos (m > n):
- a = m2 − n2
- b = 2mn
- c = m2 + n2
Entonces a, b y c forman una terna pitagórica.
Ejemplo: m=2 y n=1
- a = 22 − 12 = 4 − 1 = 3
- b = 2 × 2 × 1 = 4
- c = 22 + 12 = 4 + 1 = 5
Y así obtenemos la primera terna pitagórica (3,4,5).
De la misma manera, si m=2 y n=3 obtenemos la siguiente terna (5,12,13).
Lista de las primeras ternas pitagóricas
Aquí tienes una lista de todas las ternas pitagóricas donde a, b y c son menores que 1,000.
La lista solo contiene ternas (a,b,c) que no son múltiplos de otras ternas (ternas pitagóricas primitivas). Los múltiplos de (a,b,c) (que son (na,nb,nc)) no aparecen en la lista.
Por ejemplo, ya sabemos que (3,4,5) es una terna pitagórica y (6,8,10) también. Pero (6,8,10) se obtiene como (3,4,5) por 2. Así que solo ponemos (3,4,5).
(3,4,5) | (5,12,13) | (7,24,25) | (8,15,17) | (9,40,41) |
(11,60,61) | (12,35,37) | (13,84,85) | (15,112,113) | (16,63,65) |
(17,144,145) | (19,180,181) | (20,21,29) | (20,99,101) | (21,220,221) |
(23,264,265) | (24,143,145) | (25,312,313) | (27,364,365) | (28,45,53) |
(28,195,197) | (29,420,421) | (31,480,481) | (32,255,257) | (33,56,65) |
(33,544,545) | (35,612,613) | (36,77,85) | (36,323,325) | (37,684,685) |
(39,80,89) | (39,760,761) | (40,399,401) | (41,840,841) | (43,924,925) |
(44,117,125) | (44,483,485) | (48,55,73) | (48,575,577) | (51,140,149) |
(52,165,173) | (52,675,677) | (56,783,785) | (57,176,185) | (60,91,109) |
(60,221,229) | (60,899,901) | (65,72,97) | (68,285,293) | (69,260,269) |
(75,308,317) | (76,357,365) | (84,187,205) | (84,437,445) | (85,132,157) |
(87,416,425) | (88,105,137) | (92,525,533) | (93,476,485) | (95,168,193) |
(96,247,265) | (100,621,629) | (104,153,185) | (105,208,233) | (105,608,617) |
(108,725,733) | (111,680,689) | (115,252,277) | (116,837,845) | (119,120,169) |
(120,209,241) | (120,391,409) | (123,836,845) | (124,957,965) | (129,920,929) |
(132,475,493) | (133,156,205) | (135,352,377) | (136,273,305) | (140,171,221) |
(145,408,433) | (152,345,377) | (155,468,493) | (156,667,685) | (160,231,281) |
(161,240,289) | (165,532,557) | (168,425,457) | (168,775,793) | (175,288,337) |
(180,299,349) | (184,513,545) | (185,672,697) | (189,340,389) | (195,748,773) |
(200,609,641) | (203,396,445) | (204,253,325) | (205,828,853) | (207,224,305) |
(215,912,937) | (216,713,745) | (217,456,505) | (220,459,509) | (225,272,353) |
(228,325,397) | (231,520,569) | (232,825,857) | (240,551,601) | (248,945,977) |
(252,275,373) | (259,660,709) | (260,651,701) | (261,380,461) | (273,736,785) |
(276,493,565) | (279,440,521) | (280,351,449) | (280,759,809) | (287,816,865) |
(297,304,425) | (300,589,661) | (301,900,949) | (308,435,533) | (315,572,653) |
(319,360,481) | (333,644,725) | (336,377,505) | (336,527,625) | (341,420,541) |
(348,805,877) | (364,627,725) | (368,465,593) | (369,800,881) | (372,925,997) |
(385,552,673) | (387,884,965) | (396,403,565) | (400,561,689) | (407,624,745) |
(420,851,949) | (429,460,629) | (429,700,821) | (432,665,793) | (451,780,901) |
(455,528,697) | (464,777,905) | (468,595,757) | (473,864,985) | (481,600,769) |
(504,703,865) | (533,756,925) | (540,629,829) | (555,572,797) | (580,741,941) |
(615,728,953) | (616,663,905) | (696,697,985) |
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