Ternas pitagóricas - Avanzado

(Tal vez quieras leer primero sobre el Teorema de Pitágoras
o leer antes una Introducción a las ternas pitagóricas)

 

Una terna pitagórica es un conjunto de enteros positivos, a, b y c que satisfacen:

a2 + b2 = c2

Pitágoras, triángulo a b c

Triángulos

Y cuando los lados de un triángulo tienen como medida una terna pitagórica, entonces se trata de un triángulo rectángulo (lee Teorema de Pitágoras para saber más):

cuadrados de pitágoras: a^2+b^2=c^2

Nota:

Ternas pitagóricas

Un ejemplo famoso de ternas pitagóricas:

3,4,5 triángulo
El triángulo 3,4,5
32 + 42 = 52
9 + 16 = 25

Aquí tienes más ejemplos:

5,12,13 triángulo   9,40,41 triángulo
5, 12, 13   9, 40, 41
52 + 122 = 132   92 + 402 = 412
25 + 144 = 169   (¡Compruébalo tú mismo!)

Sin fin

El conjunto de ternas pitagóricas no tiene fin.

Es fácil demostrarlo usando la primera terna pitagórica (3, 4, y 5):

Sea n un entero mayor que 1: 3n, 4n y 5n también son una terna pitagórica. Esto es verdad porque:

(3n)2 + (4n)2 = (5n)2

Ejemplos:

n   (3n, 4n, 5n)
2   (6,8,10)
3   (9,12,15)
...   ... etc ...

Así que puedes crear infinitas ternas pitagóricas a partir de la terna (3,4,5).

Demostración de Euclides de que hay infinitas ternas pitagóricas

De todas maneras, Euclides usó un razonamiento diferente para demostrar que el conjunto de ternas pitagóricas no tiene fin.

La prueba se basa en que la diferencia de dos cuadrados de números consecutivos es siempre un número impar.

Ejemplos:

22 − 12 = 4 − 1 = 3 (un número impar),

32 − 22 = 9 − 4 = 5 (un número impar),

42 − 32 = 16 − 9 = 7 (un número impar),

etc.

Tal como se muestra en esta imagen (¿puedes comprender por qué?)

cuadrados y números impares
Números impares y cuadrados consecutivos

Lee Cuadrados y números impares, o echa un vistazo a esta tabla como ejemplo:

n n2 Diferencia
1 1  
2 4 4−1 = 3
3 9 9−4 = 5
4 16 16−9 = 7
5 25 25−16 = 9
... ... ...

Y hay un número infinito de números impares. Dado que los cuadrados perfectos forman un subconjunto de los números impares, y una fracción del infinito también es infinito, se deduce que también debe haber un número infinito de cuadrados impares. De modo que hay un número infinito de ternas pitagóricas.

Propiedades

Se puede ver que una terna pitagórica tiene:

Una terna pitagórica no puede tener todo números impares ni dos pares y uno impar. Esto es porque:

Por tanto, si uno de entre a y b es impar y el otro par, c tiene que ser impar. Y si a, b son pares, ¡c es par!

Construir ternas pitagóricas

Es fácil construir ternas pitagóricas.

Sean m y n cualesquiera dos enteros positivos (m > n):

Entonces a, b y c forman una terna pitagórica.

Ejemplo: m=2 y n=1

  • a = 22 − 12 = 4 − 1 = 3
  • b = 2 × 2 × 1 = 4
  • c = 22 + 12 = 4 + 1 = 5

Y así obtenemos la primera terna pitagórica (3,4,5).

De la misma manera, si m=2 y n=3 obtenemos la siguiente terna (5,12,13).

Lista de las primeras ternas pitagóricas

Aquí tienes una lista de todas las ternas pitagóricas donde a, b y c son menores que 1,000.

La lista solo contiene ternas (a,b,c) que no son múltiplos de otras ternas (ternas pitagóricas primitivas). Los múltiplos de (a,b,c) (que son (na,nb,nc)) no aparecen en la lista.

Por ejemplo, ya sabemos que (3,4,5) es una terna pitagórica y (6,8,10) también. Pero (6,8,10) se obtiene como (3,4,5) por 2. Así que solo ponemos (3,4,5).

(3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (8,15,17) (9,40,41)
(11,60,61) (12,35,37) (13,84,85) (15,112,113) (16,63,65)
(17,144,145) (19,180,181) (20,21,29) (20,99,101) (21,220,221)
(23,264,265) (24,143,145) (25,312,313) (27,364,365) (28,45,53)
(28,195,197) (29,420,421) (31,480,481) (32,255,257) (33,56,65)
(33,544,545) (35,612,613) (36,77,85) (36,323,325) (37,684,685)
(39,80,89) (39,760,761) (40,399,401) (41,840,841) (43,924,925)
(44,117,125) (44,483,485) (48,55,73) (48,575,577) (51,140,149)
(52,165,173) (52,675,677) (56,783,785) (57,176,185) (60,91,109)
(60,221,229) (60,899,901) (65,72,97) (68,285,293) (69,260,269)
(75,308,317) (76,357,365) (84,187,205) (84,437,445) (85,132,157)
(87,416,425) (88,105,137) (92,525,533) (93,476,485) (95,168,193)
(96,247,265) (100,621,629) (104,153,185) (105,208,233) (105,608,617)
(108,725,733) (111,680,689) (115,252,277) (116,837,845) (119,120,169)
(120,209,241) (120,391,409) (123,836,845) (124,957,965) (129,920,929)
(132,475,493) (133,156,205) (135,352,377) (136,273,305) (140,171,221)
(145,408,433) (152,345,377) (155,468,493) (156,667,685) (160,231,281)
(161,240,289) (165,532,557) (168,425,457) (168,775,793) (175,288,337)
(180,299,349) (184,513,545) (185,672,697) (189,340,389) (195,748,773)
(200,609,641) (203,396,445) (204,253,325) (205,828,853) (207,224,305)
(215,912,937) (216,713,745) (217,456,505) (220,459,509) (225,272,353)
(228,325,397) (231,520,569) (232,825,857) (240,551,601) (248,945,977)
(252,275,373) (259,660,709) (260,651,701) (261,380,461) (273,736,785)
(276,493,565) (279,440,521) (280,351,449) (280,759,809) (287,816,865)
(297,304,425) (300,589,661) (301,900,949) (308,435,533) (315,572,653)
(319,360,481) (333,644,725) (336,377,505) (336,527,625) (341,420,541)
(348,805,877) (364,627,725) (368,465,593) (369,800,881) (372,925,997)
(385,552,673) (387,884,965) (396,403,565) (400,561,689) (407,624,745)
(420,851,949) (429,460,629) (429,700,821) (432,665,793) (451,780,901)
(455,528,697) (464,777,905) (468,595,757) (473,864,985) (481,600,769)
(504,703,865) (533,756,925) (540,629,829) (555,572,797) (580,741,941)
(615,728,953) (616,663,905) (696,697,985)


por ganesh

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).