El Valor Absoluto en el Álgebra
El Valor Absoluto nos indica ...
... qué tan lejos está un número del cero:
"6" está 6 unidades alejado del cero,
y "−6" también está 6 unidades alejado del cero.
De modo que el valor absoluto de 6 es 6,
y el valor absoluto de −6 también es 6
El símbolo de valor absoluto
Para escribir que queremos el valor absoluto ponemos el signo "|" de ambos lados (se llaman "barras"), como en estos ejemplos:
|−5| = 5 | |7| = 7 |
En la mayoría de los teclados, el símbolo "|" se encuentra arriba de la tecla "Intro". |
Más formalidad
De manera más formal tenemos:
Lo que nos dice que el valor absoluto de x es:
- x cuando x es mayor que cero
- 0 cuando x es 0
- −x cuando x es menos de cero (esto "voltea" el número y lo hace positivo)
Entonces, cuando un número es positivo o cero lo dejamos igual, pero cuando es negativo lo cambiamos a positivo usando −x.
Ejemplo: ¿cuánto es |−17| ?
Bueno, es menor que cero, por lo que debemos calcular "−x":
− ( −17 ) = +17
(Porque negativo por negativo da positivo)
Propiedades
Éstas son algunas propiedades del valor absoluto que pueden ser útiles:
- |a| ≥ 0 ¡siempre!
Tiene sentido ... |a| nunca puede ser menos de cero.
- |a| = √(a2)
Al elevar a al cuadrado se obtiene un número positivo o cero (para a en los Números Reales). Luego, calcular la raíz cuadrada "deshace" el cuadrado, pero deja al número positivo o cero.
- |a × b| = |a| × |b|
Significa que estas dos son equivalentes
- el valor absoluto de (a por b), y
- (el valor absoluto de a) por (el valor absoluto de b)
Lo que también puede ser útil al resolver un problema.
- |u| = a es lo mismo que u
= ±a y viceversa
Que a menudo es la clave para resolver la mayoría de las preguntas de valor absoluto.
Ejemplo: Resuelve |x+2| = 5
Usando "|u| = a es lo mismo que u = ±a":
Lo cual tiene dos soluciones:
x+2 = −5 | x+2 = +5 |
x = −7 | x = 3 |
Gráficamente
Grafiquemos el ejemplo anterior
|x+2| = 5
Es más fácil graficar cuando tenemos una ecuación "= 0", así que resta 5 de ambos lados:
|x+2| − 5 = 0
Ahora podemos dibujar la gráfica de y=|x+2|−5 y encontrar dónde es igual a cero.
Aquí está la gráfica de y=|x+2|−5, pero solo por diversión hagamos la gráfica volteándola:
Empieza con y=|x| | luego desplázala a la izquierda para tener y=|x+2| | luego desplázala hacia abajo y=|x+2|−5 |
Y las dos soluciones (encerradas en círculo) son −7 y +3.
Desigualdades con valor absoluto
¡Mezclar el valor absoluto y las desigualdades es algo que requiere cierto cuidado!
Hay 4 desigualdades:
< | ≤ | > | ≥ | |
---|---|---|---|---|
menor que | menor o igual que | mayor que | mayor o igual que |
Menor que y menor o igual que
Con "<" y "≤" tenemos un intervalo alrededor del cero:
Ejemplo: Resuelve |x| < 3
Esto significa que la distancia de x a cero debe ser menor que 3:
Todo lo del medio (pero sin incluir) -3 y 3
Puede reescribirse como:
−3 < x < 3
Como un intervalo puede escribirse así:
(−3, 3)
Lo mismo funciona para "menor o igual que":
Ejemplo: Resuelve |x| ≤ 3
Todo lo del medio incluyendo -3 y 3
Puede reescribirse como:
−3 ≤ x ≤ 3
Como un intervalo puede escribirse así:
[−3, 3]
¿Qué tal un ejemplo más grande?
Ejemplo: Resuelve |3x-6| ≤ 12
Reescríbelo como:
−12 ≤ 3x−6 ≤ 12
Suma 6:
−6 ≤ 3x ≤ 18
Por último, multiplica por (1/3). Debido a que estamos multiplicando por un número positivo, las desigualdades no cambiarán:
−2 ≤ x ≤ 6
¡Listo!
Como un intervalo puede escribirse así:
[−2, 6]
Mayor que y mayor o igual que
Aquí la cosa es diferente... obtendremos dos intervalos separados:
Ejemplo: Resuelve |x| > 3
Se ve así:
Hasta el -3 o desde el 3 en adelante
Puede reescribirse como
x < −3 ó x > 3
Como un intervalo puede escribirse así:
(−∞, −3) U (3, +∞)
¡Cuidado! No lo escribas así:
−3 > x > 3
"x" no puede ser menor que -3 y mayor que 3 al mismo tiempo
En realidad es
x < −3 ó x > 3
"x" es menor que −3 ó mayor que 3
Lo mismo funciona para "Mayor o igual que":
Ejemplo: Resuelve |x| ≥ 3
Puede reescribirse como
x ≤ −3 ó x ≥ 3
Como un intervalo puede escribirse así:
(−∞, −3] U [3, +∞)
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).