El Valor Absoluto en el Álgebra

El Valor Absoluto nos indica ...

... qué tan lejos está un número del cero:

valor absoluto 6 y −6

"6" está 6 unidades alejado del cero,
y "−6" también está 6 unidades alejado del cero.

De modo que el valor absoluto de 6 es 6,
y el valor absoluto de −6 también es 6

 

El símbolo de valor absoluto

Para escribir que queremos el valor absoluto ponemos el signo "|" de ambos lados (se llaman "barras"), como en estos ejemplos:

|−5| = 5 |7| = 7

tecla Intro En la mayoría de los teclados, el símbolo "|" se encuentra arriba de la tecla "Intro".

Más formalidad

De manera más formal tenemos:

valor absoluto

Lo que nos dice que el valor absoluto de x es:

Entonces, cuando un número es positivo o cero lo dejamos igual, pero cuando es negativo lo cambiamos a positivo usando −x.

Ejemplo: ¿cuánto es |−17| ?

Bueno, es menor que cero, por lo que debemos calcular "−x":

− ( −17 ) = +17

(Porque negativo por negativo da positivo)

Propiedades

Éstas son algunas propiedades del valor absoluto que pueden ser útiles:

Ejemplo: Resuelve |x+2| = 5

Usando "|u| = a es lo mismo que u = ±a":

esto:|x+2| = 5
es lo mismo que esto:x+2 = ±5

 

Lo cual tiene dos soluciones:

x+2 = −5 x+2 = +5
x = −7 x = 3

Gráficamente

Grafiquemos el ejemplo anterior

|x+2| = 5

Es más fácil graficar cuando tenemos una ecuación "= 0", así que resta 5 de ambos lados:

|x+2| − 5 = 0

Ahora podemos dibujar la gráfica de y=|x+2|−5 y encontrar dónde es igual a cero.

Aquí está la gráfica de y=|x+2|−5, pero solo por diversión hagamos la gráfica volteándola:

|x+2| - 5 = 0
Empieza con y=|x| luego desplázala a la izquierda para tener y=|x+2| luego desplázala hacia abajo y=|x+2|−5

Y las dos soluciones (encerradas en círculo) son −7 y +3.

Desigualdades con valor absoluto

¡Mezclar el valor absoluto y las desigualdades es algo que requiere cierto cuidado!

Hay 4 desigualdades:

<   >
menor que menor o igual que   mayor que mayor o igual que

Menor que y menor o igual que

Con "<" y "" tenemos un intervalo alrededor del cero:

Ejemplo: Resuelve |x| < 3

Esto significa que la distancia de x a cero debe ser menor que 3:

-3 a 3

Todo lo del medio (pero sin incluir) -3 y 3

Puede reescribirse como:

−3 < x < 3

 

Como un intervalo puede escribirse así:

(−3, 3)

Lo mismo funciona para "menor o igual que":

Ejemplo: Resuelve |x| ≤ 3

Todo lo del medio incluyendo -3 y 3

Puede reescribirse como:

−3 ≤ x ≤ 3

Como un intervalo puede escribirse así:

[−3, 3]

¿Qué tal un ejemplo más grande?

Ejemplo: Resuelve |3x-6| ≤ 12

Reescríbelo como:

−12 ≤ 3x−6 ≤ 12

Suma 6:

−6 ≤ 3x ≤ 18

Por último, multiplica por (1/3). Debido a que estamos multiplicando por un número positivo, las desigualdades no cambiarán:

−2 ≤ x ≤ 6

¡Listo!

Como un intervalo puede escribirse así:

[−2, 6]

Mayor que y mayor o igual que

Aquí la cosa es diferente... obtendremos dos intervalos separados:

Ejemplo: Resuelve |x| > 3

Se ve así:

|x| > 3

Hasta el -3 o desde el 3 en adelante

Puede reescribirse como

x < −3   ó   x > 3

 

Como un intervalo puede escribirse así:

(−∞, −3) U (3, +∞)

¡Cuidado! No lo escribas así:

−3 > x > 3     ¡no!

"x" no puede ser menor que -3 y mayor que 3 al mismo tiempo

En realidad es

x < −3   ó   x > 3     sí

"x" es menor que −3 ó mayor que 3

 

Lo mismo funciona para "Mayor o igual que":

Ejemplo: Resuelve |x| ≥ 3

Puede reescribirse como

x ≤ −3   ó   x ≥ 3

 

Como un intervalo puede escribirse así:

(−∞, −3] U [3, +∞)

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).