Resolviendo Desigualdades


A veces necesitamos resolver desigualdades, como éstas:

Símbolo
 
Significado
 
Ejemplo





>
 
mayor que
 
x + 3 > 2
<
 
menor que
 
7x < 28
 
mayor o igual que
 
5 x − 1
 
menor o igual que
 
2y + 1 7






Resolver

Nuestra meta es tener a x (o cualquiera que sea la variable) separada a la izquierda del signo de desigualdad:

Algo como:   x < 5
o:   y ≥ 11

Decimos que la desigualdad está "resuelta".

Ejemplo: x + 2 > 12

Resta 2 de ambos lados:

x + 2 − 2 > 12 − 2

Simplifica:

x > 10

¡Resuelto!

Cómo resolver

Resolver desigualdades es muy parecido a resolver ecuaciones ... hacemos la mayoría de las mismas cosas.

... pero también debemos prestar atención a la dirección de la desigualdad.

greater than sign
Dirección: hacia qué lado "señala" la flecha

¡Algunas cosas pueden cambiar la dirección!

< se convierte en >

> se convierte en <

se convierte en

se convierte en

Cosas que se pueden hacer

Estas cosas no afectan la dirección de la desigualdad:

Ejemplo: 3x < 7+3

Podemos simplificar 7 + 3 sin afectar la desigualdad:

3x < 10

Pero estas cosas cambian la dirección de la desigualdad ("<" se convierte en ">", por ejemplo):

Ejemplo: 2y+7 < 12

Cuando intercambiamos los lados izquierdo y derecho, también debemos cambiar la dirección de la desigualdad:

12 > 2y+7

Aquí están los detalles:

Sumar o restar un valor

A menudo podemos resolver desigualdades sumando (o restando) un número de ambos lados (como en Introducción al Álgebra), de esta forma:

Ejemplo: x + 3 < 7

Si restamos 3 de ambos lados, obtenemos:

x + 3 − 3 < 7 − 3    

x < 4

Y ésa es nuestra solución: x < 4

En otras palabras, x puede ser cualquier valor menor que 4.

 

¿Qué hicimos?

Pasamos de esto:

 

a esto:

  desigualdad x+3 < 7 en la recta numérica  

x+3 < 7

 

x < 4

         

Y eso funciona bien para sumar y restar, porque si sumamos (o restamos) la misma cantidad de ambos lados, no afecta la desigualdad

Ejemplo: Alex tiene más monedas que Brenda. Si tanto Alex como Brenda obtienen tres monedas más cada uno, Alex seguirá teniendo más monedas que Brenda.

¿Qué pasa si lo resuelvo, pero "x" está a la derecha?

No importa, simplemente cambia de lado, pero invierte el signo para que todavía "apunte" al valor correcto.

Ejemplo: 12 < x + 5

Si restamos 5 de ambos lados, obtenemos:

12 − 5 < x + 5 − 5    

7 < x

¡Ésa es una solución!

Pero es normal poner "x" en el lado izquierdo ...

... entonces volteemos los lados (¡y el signo de desigualdad!):

x > 7

¿Ves cómo el signo de desigualdad todavía "apunta" al valor más pequeño (7)?

Y ésa es nuestra solución: x > 7

Nota: "x" puede estar a la derecha, pero a la gente generalmente le gusta verla en el lado izquierdo.

Multiplicar o dividir por un valor

Otra cosa que hacemos es multiplicar o dividir ambos lados por un valor (como en Álgebra - Multiplicación).

Pero debemos ser un poco más cuidadosos (como verás).


Valores Positivos

Todo está bien si queremos multiplicar o dividir por un número positivo:

Ejemplo: 3y < 15

Si dividimos ambos lados entre 3 obtenemos:

3y/3 < 15/3

y < 5

Y ésa es nuestra solución: y < 5

Valores Negativos

¡Cuidado! Cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo
debemos revertir la desigualdad.

¿Por qué?

Bueno, solo mira la recta numérica.

Por ejemplo, de de 3 a 7 es un aumento,
pero de −3 a −7 es una disminución.

recta numérica -7<-3 y 3<7

Observa que−7 < −3
pero7 > 3

¿Ves cómo se invierte el signo de desigualdad (de < a >)?

Probemos un ejemplo:

Ejemplo: −2y < −8

¡Dividamos ambos lados entre −2 ... e invierte la desigualdad!

−2y < −8

−2y/−2 > −8/−2

y > 4

Y ésa es la solución correcta: y > 4

(Ten en cuenta que invertí la desigualdad en el mismo renglón en el que dividí por el número negativo).

Entonces, solo recuerda:

Al multiplicar o dividir por un número negativo, revierte la desigualdad

Multiplicar o dividir por variables

Aquí hay otro ejemplo (¡capcioso!):

Ejemplo: bx < 3b

Parece fácil dividir ambos lados por b, lo que nos da:

x < 3

... pero espera ... si b es negativo necesitamos revertir la desigualdad así:

x > 3

Pero no sabemos si b es positivo o negativo, ¡así que no podemos responder éste!

Para ayudarte a comprender, imagine reemplazar b con 1 ó −1 en el ejemplo de bx < 3b:

La respuesta podría ser x < 3 o x > 3 y no podemos elegir porque no conocemos b.

Por lo tanto:

No intentes dividir por una variable para resolver una desigualdad (a menos que sepas que la variable siempre es positiva o siempre negativa).

Un ejemplo más grande

Ejemplo: x−32 < −5

Primero, quitemos el "/2" multiplicando ambos lados por 2.

Debido a que estamos multiplicando por un número positivo, las desigualdades no cambiarán.

x−32 ×2 < −5 ×2  

x−3 < −10

Ahora suma 3 a ambos lados:

x−3 + 3 < −10 + 3    

x < −7

Y ésa es nuestra solución: x < −7

¡Dos desigualdades a la vez!

¿Cómo resolvemos algo con dos desigualdades a la vez?

Ejemplo:
−2 < 6−2x3 < 4

Primero, removamos el "/3" multiplicando cada parte por 3.

Debido a que estamos multiplicando por un número positivo, las desigualdades no cambian:

−6 < 6−2x < 12

Ahora resta 6 de cada parte:

−12 < −2x < 6

Ahora divida cada parte entre 2 (un número positivo, de nuevo las desigualdades no cambian):

−6 < −x < 3

Ahora multiplique cada parte por −1. Debido a que estamos multiplicando por un número negativo, las desigualdades cambian de dirección.

6 > x > −3

¡Y ésa es la solución!

Pero para ser ordenado es mejor tener el número más pequeño a la izquierda, más grande a la derecha. Así que intercambiemos (y asegurémonos de que las desigualdades apuntan correctamente):

−3 < x < 6

Resumen

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).