Leyes asociativa, conmutativa y distributiva
¡Uf! ¡Vaya palabrejas! Pero las ideas son simples.
Leyes conmutativas
Las "leyes conmutativas" dicen que podemos intercambiar números y seguir obteniendo la misma respuesta ...... cuando sumamos:
a + b = b + a
Ejemplo:
... o cuando multiplicamos:
a × b = b × a
Ejemplo:
¡Los porcentajes son conmutativos!
Dado que a × b = b × a tenemos que se cumple que a% de b = b% de a
Ejemplo: 8% de 50 = 50% de 8, que es 4
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
Leyes asociativas
Las "Leyes asociativas" quieren decir que no importa cómo agrupes los números (o sea, qué calculas primero) ...... cuando sumamos:
(a + b) + c = a + (b
+ c)
... o cuando multiplicamos:
(a × b) × c = a × (b
× c)
Ejemplos:
Esto: | (2 + 4) + 5 = 6 + 5 = 11 |
Resulta igual que esto: | 2 + (4 + 5) = 2 + 9 = 11 |
Esto: | (3 × 4) × 5 = 12 × 5 = 60 |
Resulta igual que esto: | 3 × (4 × 5) = 3 × 20 = 60 |
Usos:
A veces es más fácil sumar o multiplicar si cambiamos el orden:
¿Cuánto es 19 + 36 + 4?
19 + 36 + 4 = 19 + (36 + 4)
= 19 + 40 = 59
O si los reordenamos un poco:
¿Cuánto es 2 × 16 × 5?
2 × 16 × 5 = (2 × 5) × 16
= 10 × 16 = 160
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
Ley distributiva
La "ley distributiva" es la MEJOR de todas, pero hay que usarla con mucho cuidado.
Esto es lo que nos deja hacer:
3 lotes de (2+4) son lo mismo que 3 lotes de 2 más 3 lotes de 4
Entonces, 3× puede "distribuirse" a lo largo de 2+4, en 3×2 y 3×4
Y lo escribimos así:
a × (b + c) = a × b + a × c
Comprueba por tu cuenta:
- 3 × (2 + 4) = 3 × 6 = 18
- 3×2 + 3×4 = 6 + 12 = 18
En español podemos decir:
Quiere decir que la respuesta es la misma cuando:
- sumas varios números y el resultado lo multiplicas por algo, o
- haces cada multiplicación por separado y luego sumas los resultados
Usos:
A veces es más fácil si rompemos una multiplicación difícil:
Ejemplo: ¿Cuánto es 6 × 204 ?
6 × 204 = 6×200 + 6×4
= 1,200 + 24
= 1,224
O para combinar:
Ejemplo: ¿Cuánto es 16 × 6 + 16 × 4?
16 × 6 + 16 × 4 = 16 × (6+4)
= 16 × 10
= 160
También podemos usarla en la resta:
Ejemplo: 26×3 - 24×3
= 2 × 3
= 6
También podríamos usarlo para una larga lista de sumas:
Ejemplo: 6×7 + 2×7 + 3×7 + 5×7 + 4×7
6×7 + 2×7 + 3×7 + 5×7 +
4×7
= (6+2+3+5+4) × 7
= 20 × 7
= 140
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
Y esas son las Leyes. . .
. . . ¡pero no vayas demasiado lejos!
La ley conmutativa no funciona para la resta o la división:
Ejemplo:
- 12 / 3 = 4, pero
- 3 / 12 = ¼
La Ley Asociativa no funciona para la resta o división:
Ejemplo:
- (9 – 4) – 3 = 5 – 3 = 2, pero
- 9 – (4 – 3) = 9 – 1 = 8
La Ley Distributiva no funciona para la división:
Ejemplo:
- 24 / (4 + 8) = 24 / 12 = 2, pero
- 24 / 4 + 24 / 8 = 6 + 3 = 9
Resumen
Leyes conmutativas: | a + b = b +
a a × b = b × a |
Leyes asociativas: | (a + b) + c = a + (b +
c) (a × b) × c = a × (b × c) |
Ley distributiva: | a × (b + c) = a × b + a × c |