Integración por Sustitución
La "Integración por Sustitución" (también llamada "la regla inversa de
la cadena") es un método para encontrar una integral,
pero solo cuando se puede configurar de una manera especial.
El primer paso y el más importante es poder escribir nuestra integral en
esta forma:
Observa que ahora tenemos g(x) y su derivada
g'(x)
Como en este ejemplo:
Aquí f=cos, y además tenemos g=x2 y su
derivada 2x
¡Está lista para la integración!
Cuando nuestra integral está configurada así, podemos hacer esta sustitución:
Entonces podemos integrar f(u) y terminar poniendo g(x) de
vuelta en lugar de u.
De este modo:
Ejemplo: ∫cos(x2) 2x dx
Sabemos (de arriba) que está en la forma correcta para hacer la sustitución:
Ahora integra:
∫cos(u) du = sin(u) + C
Y finalmente pon de vuelta u=x2:
sin(x2) + C
De modo que ∫cos(x2) 2x dx = sin(x2) + C
¡Eso funcionó muy bien! (Bueno, sabía que lo haría).
Pero este método solo funciona en algunas integrales, por supuesto, y es
posible que necesites reorganizar antes:
Ejemplo: ∫cos(x2) 6x dx
¡Oh no! Es 6x, no 2x como antes. Nuestra
configuración perfecta se ha ido.
¡No temas! Simplemente reorganiza la integral de esta manera:
∫cos(x2) 6x dx = 3∫cos(x2) 2x dx
(Se puede sacar de la integral las constantes que están multiplicando, lee Reglas de Integración).
Luego continúa como antes.
3∫cos(u) du = 3 sin(u) + C
Ahora pon de vuelta u=x2:
3 sin(x2) + C
¡Listo!
Ahora intentemos un ejemplo un poco más difícil:
Ejemplo: ∫x/(x2+1) dx
Veamos... la derivada de x2+1 es 2x ... entonces, ¿qué tal si reorganizamos así?
∫x/(x2+1) dx = ½∫2x/(x2+1) dx
Luego se tiene:
Resuelve la integral:
½∫1/u du = ½ ln(u) + C
Ahora pon de vuelta u=x2+1:
½ ln(x2+1) + C
¿Qué tal esta que sigue?
Ejemplo: ∫(x+1)3 dx
Déjame ver ... la derivada de x + 1 es ... bueno, es simplemente 1.Entonces podemos tener esto:
∫(x+1)3 dx = ∫(x+1)3 · 1 dx
Y se tiene:
Resuelve la integral:
∫u3 du = (u4)/4 + C
Ahora pon de vuelta u=x+1:
(x+1)4 /4 + C
Podemos llevar esa idea más lejos, así:
Ejemplo: ∫(5x+2)7 dx
Si estuviera en ESTA forma podríamos hacerlo:
∫(5x+2)7 5 dx
Así que hagámosla de esa forma haciendo esto:
15 ∫(5x+2)7 5 dx
El 15 y el 5 se
neutralizan por lo que todo está bien.
Y ahora podemos tener u=5x+2
En este paso haz la integral:
15 ∫u7 du = 15 u88 + C
Ahora pon de vuelta u=5x+2 y simplifica:
(5x+2)840 + C
En resumen
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).