Integración por Sustitución

La "Integración por Sustitución" (también llamada "la regla inversa de la cadena") es un método para encontrar una integral, pero solo cuando se puede configurar de una manera especial.

El primer paso y el más importante es poder escribir nuestra integral en esta forma:

integración por sustitución general
Observa que ahora tenemos g(x) y su derivada g'(x)

Como en este ejemplo:

integración por sustitución cos(x^2) 2x dx
Aquí f=cos, y además tenemos g=x2 y su derivada 2x
¡Está lista para la integración!

Cuando nuestra integral está configurada así, podemos hacer esta sustitución:

integración por sustitución general

Entonces podemos integrar f(u) y terminar poniendo g(x) de vuelta en lugar de u.

De este modo:

Ejemplo: cos(x2) 2x dx

Sabemos (de arriba) que está en la forma correcta para hacer la sustitución:

integración por sustitución cos(x^2) 2x dx

Ahora integra:

cos(u) du = sin(u) + C

Y finalmente pon de vuelta u=x2:

sin(x2) + C

De modo que cos(x2) 2x dx = sin(x2) + C

¡Eso funcionó muy bien! (Bueno, sabía que lo haría).

Pero este método solo funciona en algunas integrales, por supuesto, y es posible que necesites reorganizar antes:

Ejemplo: cos(x2) 6x dx

¡Oh no! Es 6x, no 2x como antes. Nuestra configuración perfecta se ha ido.

¡No temas! Simplemente reorganiza la integral de esta manera:

cos(x2) 6x dx = 3cos(x2) 2x dx

(Se puede sacar de la integral las constantes que están multiplicando, lee Reglas de Integración).

Luego continúa como antes.

3cos(u) du = 3 sin(u) + C

Ahora pon de vuelta u=x2:

3 sin(x2) + C

¡Listo!

Ahora intentemos un ejemplo un poco más difícil:

Ejemplo: x/(x2+1) dx

Veamos... la derivada de x2+1 es 2x ... entonces, ¿qué tal si reorganizamos así?

x/(x2+1) dx = ½2x/(x2+1) dx

Luego se tiene:

integración por sustitución 2x/(x^2+1)

Resuelve la integral:

½1/u du = ½ ln(u) + C

Ahora pon de vuelta u=x2+1:

½ ln(x2+1) + C

¿Qué tal esta que sigue?

Ejemplo: (x+1)3 dx

Déjame ver ... la derivada de x + 1 es ... bueno, es simplemente 1.

Entonces podemos tener esto:

(x+1)3 dx = (x+1)3 · 1 dx

Y se tiene:

integración por sustitución (x+1)^3

Resuelve la integral:

u3 du = (u4)/4 + C

Ahora pon de vuelta u=x+1:

(x+1)4 /4 + C

Podemos llevar esa idea más lejos, así:

Ejemplo: (5x+2)7 dx

Si estuviera en ESTA forma podríamos hacerlo:

(5x+2)7 5 dx

Así que hagámosla de esa forma haciendo esto:

15 (5x+2)7 5 dx

El 15 y el 5 se neutralizan por lo que todo está bien.

Y ahora podemos tener u=5x+2

integración por sustitución (x+1)^3

En este paso haz la integral:

15 u7 du = 15 u88 + C

Ahora pon de vuelta u=5x+2 y simplifica:

(5x+2)840 + C

Ahora practica un poco, ¿de acuerdo? Más abajo hay un enlace a los ejercicios (en inglés).

En resumen

Cuando podemos poner una integral en esta forma:

integración por sustitución general

Podemos hacer la sustitución u=g(x) e integrar f(u) du
Y terminamos al poner de vuelta g(x) donde está u.

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).